55 Необходимый признак сходимости числового ряда.

  Теорема: Пусть числовой ряд

u1+u2+...+un+... ,

(1)

сходится, а S - его сумма. Тогда при неограниченном возрастании числа n членов ряда его общий член u_n стремится к нулю  Доказательство. Из условия теоремы имеем

       

Так как

S_n - S_n-1 = u_n

то

  Следует отметить, что этот признак является лишь необходимым, но не достаточным признаком сходимости ряда, так как можно указать ряд, для которого выполняется равенство

,

а он, однако не является сходящимся.   Так гармонический ряд

,

для которого

,

расходится.   Но согласно доказанному необходимому признаку сходимости ряда, если

,

то ряд (1) расходится.   В самом деле, если бы он сходился, то

равнялся бы нулю.   Таким образом, доказанная нами теорема иногда позволяет, не вычисляя суммы S_n, сделать заключение о расходимости того или иного ряда. Например, ряд

,

расходится, так как

,

. Если ряд сходится, то   u_n=0.

Доказательство. Пусть ряд u₁+u₂+…+u_n… сходится, то есть существует конечный предел  =S. Тогда имеет место также равенство  =S, так как при n  и (n-1) . Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем  -  =  = u_n=0, что и требовалось доказать.

Следствие. Если  u_n≠0, то ряд u₁+u₂+…+u_n… расходится.

Пример.

Ряд   расходится, так как

u_n= .

Подчеркнём, что рассмотренный признак является только необходимым, но не достаточным, то есть из того, что  u_n=0 не следует, что ряд сходится.

Позже докажем, что так называемый гармонический ряд

         (6)

расходится, хотя  u_n=

Этот ряд часто будет использоваться в дальнейшем.

Теорема 4. (Признак сравнения)

Пусть даны два знакоположительных числовых ряда

      (7)

 (8)

причём u_n≤v_n при любых n=1,2,… .

Тогда:           1. Если ряд (8) сходится, то сходится и ряд (7);

2. Если ряд (7) расходится, то расходится и ряд (8).

еорема 5. (Предельный признак сравнения)

Пусть даны два знакоположительных числовых ряда (7) и (8). Если существует конечный предел  ≠0, то ряды (7) и (8) сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. По условию теоремы существует конечный предел  . Это означает, что для любого положительного числа Есуществует такой номер N, что для всех номеров n≥N выполняется условие   Последнее неравенство равносильно двойному неравенству –E< -A<E или A-E< <A+E или

     (9)

Неравенство (9) верно при любом E>0. Выберем поэтому Е так, чтобы выполнялось А-Е>0. Если ряд (8) сходится, то сходится и ряд   по теореме 2. Но тогда по признаку сравнения, учитывая (9), сходится и ряд (7). Если ряд (7) сходится, то по признаку сравнения, учитывая (9), сходится ряд   и по теореме 2 сходится ряд (8). Аналогично доказывается, учитывая (9), что из расходимости одного из рядов следует расходимость другого ряда. Докажите эту часть самостоятельно.

56 Теорема 6. (Признак Даламбера)

Пусть дан знакоположительный числовой ряд

          (7)

и пусть существует предел   При p<1 ряд (7) сходится, при p>1 ряд (7) расходится.

Теорема 7. (Признак Коши)

Пусть дан знакоположительный числовой ряд u₁+u₂+…+u_n…  (7)

и пусть существует предел   При p<1 ряд (7) сходится, при p>1 ряд (7) расходится.

Доказательство. По условию существует   Это означает, что для любого положительного числа Е существует такой номер N, что для всех nN выполняется условие   <E или

p-E< <p+E.        (14)

Пусть p<1. Выберем Е таким, чтобы выполнялось p+E=q<1. Тогда из (14) получаем  <q или u_n<qⁿ для всех nN. Рассмотрим ряды

             (15)

            (16)

Ряд (16) сходится, так как он является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Ряд (15) сходится, учитывая, что u_n<qⁿ для всехnN, по признаку сравнения, следовательно, по теореме 1 сходится ряд (7).

Пусть теперь p>1. Выберем Е так, чтобы выполнялось условие  p-E >1. Тогда из (14) получаем  >1 или u_n>1, следовательно,  u_n0 и ряд (7) расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.

Теорема 8. (Интегральный признак Коши)

Пусть члены знакоположительного числового ряда u₁+u₂+…+u_n… (7) не возрастают: u₁u₂≥…≥u_n≥… и пусть f(x) такая положительная, непрерывная, невозрастающая на промежутке [1;∞) функция, что f(1)=u₁, f(2)= u₂ ,…,        f(n)= =u_n,… . Тогда ряд (7) сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом 

Доказательство. Построим график функции y=f(x) на отрезке [1;n] и построим прямоугольник с основаниями [1;2], [2;3], …, [n-1;n] и высотами u₁,u₂,…,u_n-1, а также с высотами u₂,u₃,…,u_n.

S_n=u₁+u₂+…+u_n-1+u_n, S_впис=u₂^.1+u₃^.1+…+u_n^.1=u₂+u₃+…+u_n=S_n-u₁,

S_опис=u₁+u₂+…+ +u_n-1=S_n-u_n.

Площадь криволинейной трапеции S= . Получаем  S_n-u₁< < S_n-u_n. Отсюда

S_n<u₁+          (17)

и S_n>u_n+       (18)

Пусть   сходится. Это означает, что существует конечный предел  =Y. Соотношение (17) принимает вид: S_n<u₁+Y при любом n. Это означает, что последовательность частичных сумм S_n ряда (7) ограничена и, следовательно, ряд (7) сходится. Пусть   расходится. Это означает, что  =∞ и тогда из (18) следует, что последовательность частичных сумм S_n ряда (7) неограничена и, следовательно, ряд (7) расходится. Теорема доказана.