39. 1. Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразной функцией для функции f(x) называется такая функция F(х), производная которой равна данной функции

F'(x) = f(x).

Обозначение

где F'(x) = f(x). Функция f(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx - подынтегральным выражением.

П.2. Свойства неопределенного интеграла

1°. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

2°. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е.

3°. Постоянный множитель можно вынести из под знака интеграла, т.е. если k = const ≠ 0, то

4° . Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности.

40

41 Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл   Сделаем подстановку   где   — функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда   и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

Интегрирование по частям

Основная статья: Интегрирование по частям

Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:

Или:

В частности, с помощью n-кратного применения этой формулы находится интеграл

где   — многочлен  -ой степени.

[править]Интегрирование выражений вида 

42. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование

1  тип.

 — заданные числа

2 тип.

 — заданные числа

3 тип.  — заданные числа

Квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

Интегрирование проводится путем выделения полного квадрата в знаменателе: и последующей заменой т.е.

 

Первый интеграл при помощи замены приводится к табличному (ОК № 15, формула 2), второй является табличным (формула 15). Пример:

4 тип. — заданные числа  не имеет действительных корней.

43

Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций

В данном разделе мы рассмотрим 8 специальных классов интегралов от тригонометрических функций. Для каждого класса применяются определенные преобразования и подстановки, позволяющие получить аналитическое решение.  1. Интегралы вида  Для решения данных интегралов применяются формулы преобразования произведения тригонометрические функций в сумму или разность: 2. Интегралы вида  Здесь и везде ниже предполагается, что m и n - натуральные числа. Для вычисления таких интегралов используются следующие подстановки и преобразования: Если степень косинуса n - нечетная (при этом степень синуса m может быть любой), то используется подстановка  . Если степень синуса m - нечетная, то используется подстановка  . Если степени m и n - четные, то сначала применяются формулы двойного угла чтобы понизить синуса или косинуса в подынтегральном выражении. Затем, если необходимо, применяются правила a) или b). 3. Интегралы вида  Степень подынтегрального выражения в данном интеграле можно понизить с помошью тригонометрического соотношения   и формулы редукции 4. Интегралы вида  Здесь степень подынтегрального выражения понижается с помошью соотношения   и формулы редукции 5. Интегралы вида  Данный тип интеграла упрощается с помощью следующей формулы редукции: 6. Интегралы вида  Аналогично предыдущим пунктам, интеграл упрощается с помощью формулы 7. Интегралы вида  Если степень секанса n - четная, то c помошью соотношения   секанс выражается через тангенс. При этом множитель   отделяется и используется для преобразования дифференциала. В результате весь интеграл (включая дифференциал) выражается через функцию tg x. Если обе степени n и m - нечетные, то отделяется множитель sec x tg x, необходимый для преобразования дифференциала. Далее весь интеграл выражается через sec x. Если степень секанса n - нечетная, а степень тангенса m - четная, то тангенс выражается через секанс с помощью формулы  . Затем вычисляются интегралы от секанса. 8. Интегралы вида  Если степень косеканса n - четная, то c помошью соотношения   косеканс выражается через котангенс. При этом множитель   отделяется и используется для преобразования дифференциала. В результате подынтегральная функция и дифференциал выражаются через ctg x. Если обе степени n и m - нечетные, то отделяется множитель ctg x cosec x, необходимый для преобразования дифференциала. Далее интеграл выражается через cosec x. Если степень косеканса n - нечетная, а степень котангенса m - четная, то котангенс выражается через косеканс с помощью формулы  . Далее вычисляются интегралы от косеканса.

44 Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала)

Определение

Пусть   определена на  . Разобьём  на части с несколькими произвольными точками  . Тогда говорят, что произведено разбиение   отрезка   Далее выберем произвольную точку  ,  ,

Определённым интегралом от функции   на отрезке  называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю  , если он существует независимо от разбиения   и выбора точек  , то есть

Если существует указанный предел, то функция   называется интегрируемой на   по Риману.

Свойства

Если функция   интегрируема по Риману на  , то она ограничена на нем.

45 Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определённого интеграла и вычислением первообразной.

	Если   непрерывна на отрезке   и   — её любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство
Пример 1
Вычислить интеграл  . Решение. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем