50 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение вида

или

называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Заметим, что в данных дифференциальных уравнениях каждая из функций зависит только от одной переменной, т.е. происходит разделение переменных.

Для решения такого дифференциального уравнения необходимо домножить или разделить обе части дифференциального уравнения на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входили только функции от   и   , в другую часть уравнения - только функции от   ,   . Затем в полученном дифференциальном уравнении надо проинтегрировать обе части:

Следует заметить, что при делении обеих частей дифференциального уравнения на выражение, содержащее неизвестные   и   , могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в ноль.

Обратим внимание, что дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными легко сводятся к интегрированию. В общем случае получаем получаемдванеопределенных интеграла.

51 Линейное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида 

Линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида 

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида 

Линейные уравнения 

Линейными диф. уравнениями 1-го порядка называются уравнения вида  , где   и   - непрерывные функции заданные на промежутке.

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

                                            ,                                                (1)

линейное относительно неизвестной функции   и ее производной. Если в уравнении (1) правая часть  , то уравнение

                                                              

52 Обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

называется уравнением Бернулли (при   или   получаем неоднородное или однородное линейное уравнение). 

Уравнение Бернулли является одним из наиболее известных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Оно записывается в виде

где a(x) и b(x) − непрерывные функции. 

53 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид  . Определение. Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция  , которая при любых значениях   и   является решением этого уравнения. Определение. Линейным однородным уравнением второго порядка называется уравнение  . Если коэффициенты   и   постоянны, т.е. не зависят от  , то это уравнение называют уравнением с постоянными коэффициентами и записывают его так:  . Уравнение   будем называть линейным неоднородным уравнением. Определение. Уравнение  , которое получается из линейного однородного уравнения заменой функции   единицей, а  и  - соответствующими степенями  , называется характеристическим уравнением. Известно, что квадратное уравнение   имеет решение, зависящее от дискриминанта  :  , т.е. если  , то корни   и  - действительные различные числа. Если  , то  . Если же  , т.е.  , то   будет мнимым числом, а корни   и  - комплексными числами. В этом случае условимся обозначать  .

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами — обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

где

•  — искомая функция,

•  — её  -тая производная,

•  — фиксированные числа,

•  — заданная функция (когда  , имеем линейное однородное уравнение, иначе — линейное неоднородное уравнение).

54

Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).

Рассматриваются числовые ряды двух видов

• вещественные числовые ряды — изучаются в математическом анализе;

• комплексные числовые ряды — изучаются в комплексном анализе;

Важнейший вопрос исследования числовых рядов — это сходимость числовых рядов.

Числовые ряды применяются в качестве системы приближений к числам.

Пусть   — числовая последовательность; рассмотрим наравне с данной последовательностью последовательность

каждый элемент которой представляет собой сумму некоторых членов исходной последовательности. В наиболее простом случае используются обычные частичные суммы вида

Вообще, для обозначения ряда используется символ

поскольку здесь указана исходная последовательность элементов ряда, а также правило суммирования.

В соответствии с этим говорится о сходимости числового ряда:

• числовой ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм;

• числовой ряд расходится, если расходится последовательность его частичных сумм:

• числовой ряд сходится абсолютно, если сходится ряд из модулей его членов.

Если числовой ряд сходится, то предел   последовательности его частичных сумм носит название суммы ряда:

Пусть положительные числа   - члены некоторой бесконечной числовой последовательности. Тогда выражение вида

 (1)

называется числовым рядом.

Здесь  – общий член ряда, с помощью которого ряд (1) записывается в виде