12. Различные подходы к классификации математических моделей. Модели с сосредоточенными и распределенными параметрами. Дескриптивные, оптимизационные, многокритериальные, игровые модели.

В основу классификации математических моделей можно положить различные принципы.

1) по отраслям наук (математические модели в физике, биологии, соци­ологии и т.д.) применяется, когда к этому подходит специалист в какой-то одной науке.

2) по применяемому математическому аппарату (модели, основанные на применении обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, стохастических методов, дискретных алгебраических преобразований и т.д.) используется математиками, занимающимися аппаратом математического модел-ния.

3) по целям модел-ния используется, когда человек интересуется общими закономерностями модел-ния в разных науках безотносительно к математическому аппарату.

Классификация относительно целей моделирования:

• дескриптивные (описательные):

Моделируя движение кометы, вторгшейся в Солнечную сист-у, мы описываем траекторию ее полета, расстояние, на котором она пройдет от Земли и т. д., т. е. ставим чисто описательные цели. У нас нет никаких возможностей повлиять на движение кометы, что-то изменить.

• оптимизационные:

Если мы можем воздействовать на процесс, пытаясь добить­ся какой-то цели. В этом случае в модель входит один или несколько параметров, доступных нашему влиянию. Например, меняя тепловой режим в зернохранилище, мы можем стремиться подобрать такой, чтобы достичь максимальной сохранности зерна, т. е. оптимизируем процесс.

• многокритериальные:

Часто приходится оптимизировать процесс по нескольким параметрам сразу, причем цели могут быть весьма противоречивыми. Например, зная цены на продукты и потребность человека в пище, организовать питание больших групп людей (в армии, летнем лагере и др.) как можно полезнее и дешевле. Ясно, что эти цели совсем не совпадают, т.е. при модел-нии будет несколько критериев, между которыми надо искать баланс.

• игровые:

Игровые модели имеют отношение не только к компьютерным играм, но и к вещам весьма серьезным. Например, полководец перед сражением в условиях наличия неполной инф-ии о противостоящей армии должен разработать план: в каком порядке вводить в бой те или иные части и т. д., учитывая и возможную реакцию противника. Есть специальный раздел современной математики — теория игр, изучающий методы принятия решений в условиях неполной инф-ии.

• имитационные.

Это модели, в большой мере подражающие реальному процессу, т.е. имитирующие его. Например, моделируя изменение (динамику) численности микроорганизмов в колонии, можно рассматривать много отдельных объектов и сле­дить за судьбой каждого из них, ставя определенные условия для их выживания, размножения и т.д. При этом явное математическое описание процесса заменяется некоторыми словесными условиями (например, по исте­чении некоторого отрезка времени микроорганизм делится на две части, а другого отрезка — погибает). При имитационном модел-нии мы пытаемся описать свойства большой сист-ы в случае, когда поведение сост-ющих ее объектов очень просто и четко сформулировано. Математическое описание заключается в статистической обработке результатов модел-ния. Такой эксперимент схож с натурным экспериментом. Мы можем получить следствия ги­потез о микрособытиях без влияния других факторов.

Имитационная модель лишь условно отличается от дескриптивной в том случае, когда имит. модель включает элементы математического описания событий на микроуровне, и ис­следователь при этом не собирается регулировать результа­ты (например, управлять численностью колонии микроорганизмов).

Для математических моделей выделяют следующие классы:

1) модели, неизменные во времени, - статические модели;

2) модели, переменные во времени, — динамические модели;

3) модели, неизменные в пространстве, — модели с сосредоточенными параметрами;

4) модели, изменяющиеся в пространстве, — модели с распред-нными параметрами. Рассмотрим перечисленные классы моделей. Модели с сосредоточенными параметрами. Для данного класса моделей характерно постоянство переменных в пространстве. Математическое описание включает алгебраические уравнения либо дифференциальные уравнения первого порядка для нестационарных процессов. Примером объекта, описываемого данным классом моделей, может служить аппарат с идеальным (полным) перемешиванием потока. Скорость мешалки такова, что концентрация во всех точках аппарата одинакова.

Модели с распред-нными параметрами. Если основные переменные процесса изменяются как во времени, так и в пространстве, или если указанные изменения происходят только в пространстве, то модели описывающие такие процессы, называются моделями с распред-нными параметрами. Их математическое описание включает обычно дифференциальные уравнения в частных производных, либо обыкновенные дифференциальные уравнения.