2.1.6. Изгиб

Дюрация дает приемлемую оценку изменения цены облигации при небольшом изменении доходности до погашения, так как график цены облигации имеет вогнутую форму (см. рис. 2.9). Для более точной оценки изменения цены облигации следует учесть такой показатель как изгиб (convexity), обозначим его через conv.

Изменение цены облигации можно разложить на составляющие части с помощью ряда Тейлора. Для решения нашей задачи возьмем два первых слагаемых данного ряда. Тогда изменение цены облигации можно представить следующим образом:

(2.40)

Изгиб равен:

(2.41)

Процентное изменение цены облигации с помощью изгиба определяется как:

(2.42)

Выражение – это вторая производная для формулы цены облигации. Она равна:

(2.43)

Изгиб как и дюрация определяется в купонных периодах. Если купон выплачивается один раз в год, то результат изгиба получается в годах. Если купоны выплачиваются m раз в год, то получить значение изгиба в годах можно по формуле:

(2.44)

С учетом модифицированной дюрации и изгиба процентное изменение цены облигации можно определить следующим образом:

(2.45)

Пример 2.17.Номинал облигации 1 млн. руб., С = 10%, до погашения 3 года, доходность до погашения равна 10%. Определить процентное изменение цены облигации при росте и падении доходности до погашения на 5%.

Как мы уже рассчитали, модифицированная дюрация такой облигации равна 2,49 года (см. пример 2.15). Изгиб равен:

года;

или -11,36%.

Действительное изменение цены облигации составляет 11,42%.

Если доходность до погашения упадет на 5%, то процентное изменение цены равно:

или 13,51%.

Действительное изменение цены облигации составляет 13,62%.

Таким образом, использование модифицированной дюрации и изгиба позволяют довольно точно определить процентное изменение цены облигации при существенном изменении доходности до погашения.

Изгиб характеризуется следующими особенностями.

1) Его величина возрастает при уменьшении доходности до погашения и падает при его росте.

2) При данном значении доходности до погашения и времени погашения величина изгиба больше для облигаций с более низким купоном.

3) При данном значении доходности до погашения и модифицированной дюрации величина изгиба меньше для облигации с более низким купоном.

4) Величина изгиба возрастает в большей степени при росте дюрации.

Изгиб – один из важных инвестиционных качеств облигации, особенно в условиях нестабильности процентных ставок. Он говорит о величине кривизны графика цены облигации, что наглядно представлено на рис. 2.10. Облигации А и В имеют одинаковую дюрацию, но величина изгиба облигации В больше чем облигации А. Это свидетельствует о том, что при падении доходности цена облигации В вырастет в большей степени, чем облигации А. При росте доходности ее цена упадет в меньшей степени, чем облигации А. Таким образом, с точки зрения инвестиционных качеств, облигация В лучше облигации А. Они мало заметны при небольшом изменении доходности до погашения, однако проявляются в существенной степени при значительном изменении процентной ставки. Поскольку облигация В дает инвесторам преимущество, то она должна оцениваться на рынке. Поэтому цена облигации В будет больше цены облигации А, и эта разница проявится тем сильнее, чем определеннее ожидания инвесторов относительно неустойчивости конъюнктуры.

Рис. 2.10. Графическое изображение изгиба