08. Описание систем в форме «вход-выход» во временной и частотной областях
Рассмотрим САР, работающую по замкнутому циклу.
РО – регулирующий объект, ИЭ - исполнительный элемент, ПУ – Передающее устройство, ЧЭ – чувствительный элемент.
Предположим, что сначала, что ИЭ отключен и рассмотрим разомкнутую САР.
Регулирующее воздействие определяется по формуле u(t)=Wрег(p)x(t) (1)
х – ошибка регулирования, W – передаточная ф-я регулирования.
Регулируемая величина y(t)=W0u(t)+Wf(p)f(t) (2)
W0 – передаточная функция по регулирующему воздействию, Wf = передаточная функция по возмущающему воздействию.
Подставляя (1) в (2) получим: y(t)=W(p)x(t)+Wf(p)f(t) (3)
W(p)=W0(p)Wрег(p)=R(p)/Q(p) (4)
W(p) – передаточная функция разомкнутой системы, Q и R – полиномы.
W(p) можно представить как отношение изобр-я регулирующей величины и ошибки регулирования при нулевых начальных условиях и отсутствия возмущающих воздействий. W(p)=Y(p)/X(p) (5), p=c+jω
Применительно к функциям времени в формулах (1-3) передаточная функция разомкнутой системы дает возможность в оперативной форме записать дифуравнение, связывающее регулируемую величину с x(t) в разомкнутой системе. y(t)=W(p)x(t) (6), р=d/dt.
С учетом (4) можно записать: Q(p)y(t)=R(p)x(t) (7)
Рассмотрим теперь замкнутую систему. Уравнение замыкания имеет вид:
x(t)=g(t)-y(t) (8)
Решая совместно уравнения (3) и (8) получим:
y(t)=(W(p)/1+W(p))-(Wf(p)/1+W(p))f(t) (9)
x(t)=(g(t)/1+W(p))-Wf(p)/1+W(p))f(t) (10)
Передаточной функцией замкнутой системы или главным оператором называется выражение: D(p)=W(p)/1+W(p)= R(p)/R(p)+Q(p) (11)
Она дает связь между регулирующей величиной и задающим воздействием при нулевых возмущающих. y(t)=Ф(p)g(t) (12)
Передаточной функцией замкнутой системы по ошибке называется выражение: Фх(р)=1-Ф(р)=1/1+W(p)=Q(p)/R(p)+Q(p) (13).
Из формул (9-10) следует, что введение автоматического регулирования снижает отклонение регулирующей величины в 1+W(p) раз в сравнении с разомкнутой системой.
09. Описание систем уравнениями Коши относительно переменных состояния во временной и частотной областях
Предположим, что к системе приложено только 2 воздействия – задающее (g(t)) и возмущающее (f(t)). Кроме того, введем некоторые полиномы aij(p). Обычно совокупность уравнений решается либо относительно отклонения регулируемой величины от заданного значения, т.е. ошибки, либо относительно регулируемой величины. В первом случае встречается часто, при этом получается ду D(p)x(t)=Q(p)g(t)+N(p)f(t)__(1). Полином D(p) характеризует свободное движение регулируемого объекта к регулятору и называется характеристическим полиномом.
D(p)=a0*p^n+a1*p^n-1+…+an-1*p+an__(2), где a0…an – в линеаризованной системе постоянные коэффициенты.
Q(p)= C0*p^n+C1*p^n-1+…+Cn-1*p+Cn__(3), где С0…Сn – постоянные коэф-ты, определяющие влияние управляющего воздействия g(t) на характер изменения ошибки х(t). В большинстве систем Q(p)g(t)=0.
Полином N(p) определяет влияние возмущающего воздействия на величину ошибки. Если для какого либо возмущения fk(t)<>0, полином Nk(p)=0, то говорят, что система инвариантна относительно этого возмущающего воздействия.
Решение относительно y(t) дает уравнение движения регулируемого объекта при наличии автоматического регулирования. Уравнение Мб получено путем подстановки выражения для ошибки x(t)=g(t)-y(t) в уравнение (1):
D(p)y(t)=R(p)g(t)-N(p)f(t); R(p)=D(p)-Q(p)__(4).
R(p)= b0*p^m+b1*p^m-1+…+bm-1*p+bm (m<=n)
При заданных функциях времени в дифурах эти уравнения мб решены (проинтегрированы) относительно искомых функций времени, т.е. мб найдено изменение ошибки во времени x(t) из уравнения (1) и движение объекта вместе с регулятором y(t) из уравнения (4). Уравнения 1 и 4 мб представлены также в форме Коши, т.е. в виде совокупности n уравнений первого порядка, где n – порядок полинома D(p)
Xj=Σ(от 1 до n) aij*xi+ Σ(от 1 до n)bij*fi; j=1..n__(5)
xj представляет собой координату фазовой системы, fi – задающее и возмущающее воздействие, aij,bij – вещественные числа. Если ввести оператор xj(c точкой)=p*xj(с точкой), то совокупность уравнений мб решена относительно любой из фазовых координат.