15. Аддитивные критерии при оптимизации

При использовании аддитивных критериев целевая функция получается путем сложения нормированных значений частных критериев. В общем случае целевая функция имеет следующий вид:

(1)

где – количество объединяемых частных критериев; – весовой коэффициент -го частного критерия; – числовое значение -го частного критерия; – нормирующий делитель для -го критерия; – нормированное значение -го частного критерия.

Частные критерии имеют разную физическую природу и, соответственно, различную размерность. Поэтому при выводе обобщенного критерия оперируют не «натуральными» критериями, а их нормированными значениями.

Нормированный критерий – это отношение «натурального» значения частного критерия к некоторой нормирующей величине (так называемому нормирующему делителю), измеряемой в тех же единицах, что и частный критерий.

Подходы к выбору нормирующего делителя:

1. Директивные значения параметров, регламентированные заказчиком в техническом задании (ТЗ), могут приниматься в качестве соответствующих нормирующих делителей. Недостаток здесь состоит в том, что априорно считаются оптимальными значения, заданные в ТЗ. При этом совокупность заданных значений критериев рассматривается как образцовая (эталонная), что зачастую ограничивает поиск еще более рациональных решений.

2. В качестве нормирующего делителя могут приниматься максимальные значения частных критериев, достигаемые в области существования проектных решений (то есть в области оптимизации или «области компромисса»).

3. В качестве нормирующего делителя могут приниматься разности между максимально допустимым и минимально допустимым значениями соответствующего частного критерия в области существования проектных решений (в области оптимизации или «области компромисса») – то есть, ширина поля допуска.

4. В качестве нормирующего делителя могут приниматься соответствующие значения частных критериев, достигнутые по изделиям-аналогам (такой подход распространен при решении задач модернизации изделий и т.п.).

Формула (1) позволяет осуществить на практике компромисс, при котором увеличение значения одного нормированного частного критерия компенсирует уменьшение значений по другим нормированным частным критериям. Весовые коэффициенты должны учитывать различную значимость частных критериев при формировании аддитивной функции. Назначение весовых коэффициентов по каждому критерию представляет сложную задачу.

Существуют два типовых подхода при определении весовых коэффициентов:

• использование формальных процедур, в которых на основе применяемых уравнении и соотношений вычисляются значения каждого ;

• применение экспертных оценок.

Применение аддитивных критериев при оптимизации дает следующие преимущества:

• возможность решать многокритериальные задачи оптимизации;

• сравнительно быстрое получение результата при оптимизации;

• «уход» от размерностей и возможность применения относительных значений;

• отсутствие логических проблем при установлении взаимосвязей между частными критериями;

• простая процедура выбора оптимального варианта на основе значения функции (1), где имеет место только вычислительная сложность.

В то же время, при использовании аддитивных критериев в задачах многокритериальной оптимизации возможно снижение их эффективности вследствие проявления следующих недостатков:

• невозможность учесть объективную роль каждого частного критерия при функционировании объекта (таким образом, аддитивная функция является формальным математическим приемом, придающим задаче удобный для решения вид);

• в аддитивном критерии может происходить взаимная компенсация частных критериев даже при изменении их значений в недопустимых диапазонах, вплоть до нулевых значений и выхода за поля допусков.