16. Мультипликативные критерии при оптимизации
В основу мультипликативного критерия положен принцип «относительной компенсации»: компромисс допустим лишь тогда, когда суммарный уровень относительного снижения значений одного или нескольких критериев не превышает суммарного уровня относительного увеличения значений других критериев:
(2)
где
– количество объединяемых частных
критериев;
– приращение величины i-го
частного критерия;
– первоначальная величина i-го
частного критерия.
Полагая
,
можно представить выражение (2) как
дифференциал натурального логарифма,
то есть
(3)
Из (3) следует, что принцип «относительной компенсации» приводит к выражению
, (4)
то есть к мультипликативному критерию – простому перемножению частных критериев в случае, если все частные критерии имеют одинаковую важность. В ситуации неравнозначности частных критериев
, (5)
где
– весовой коэффициент i-го частного
критерия;
– численное значение i-го частного
критерия.
Преимущества мультипликативного критерия:
не требуется нормирование частных критериев;
учитывается «вес» каждого частного критерия в общем векторе качества объекта оптимизации.
Основной недостаток мультипликативного критерия:
так как мультипликативный критерий компенсирует недостаточную величину одного частного критерия избыточной величиной другого частного критерия, то имеется тенденция «сглаживания» уровней частных критериев за счет неравнозначных первоначальных значений частных критериев .
17. Минимаксные критерии при оптимизации
Эти критерии работают по принципу
«компромисса», который основывается
на идее равномерности. Суть принципа
максимина заключается в следующем. При
проектировании сложных систем и наличии
большого числа частных критериев
установить между ними аналитическую
взаимосвязь очень сложно. Поэтому
стараются найти такие значения параметров
(переменных)
,
при которых нормированные значения
всех частных критериев равны между
собой:
,
, (6)
где
– весовой коэффициент i-го частного
критерия;
– нормированное значение i-го
частного критерия;
– константа.
При большом количестве частных критериев
из-за сложных взаимосвязей добиться
выполнения указанного выше соотношения
очень сложно. Поэтому на практике при
оптимизации варьируют значения переменных
проектирования
,
при которых последовательно «подтягиваются»
те нормированные критерии, численные
значения которых в исходном решении
оказались наименьшими (в задаче поиска
максимума целевой функции).
Формально принцип максимина формулируется
следующим образом: необходимо выбрать
такой набор переменных
,
при котором реализуется максимум из
минимальных нормированных значений
частных критериев, то есть
. (7)
Если частные критерии необходимо минимизировать, то самым «отстающим» критерием является тот, который принимает максимальное значение. В этом случае применяют принцип минимакса:
. (8)
Преимущества минимаксных (максиминных) критериев:
сравнительно простой алгоритм сравнения различных вариантов при оптимизации;
возможность многошаговой оптимизации до достижения требуемой эффективности.
Недостатки минимаксных (максиминных) критериев:
при противоречивых критериях, являющихся «отстающими» на -м и (
)-м
шагах оптимизации не всегда возможно
достичь оптимизации;компромисс реализуется «переборным» подходом и может быть не полностью прогнозируемым при переходе к оптимизации следующего критерия;
сравнительно низкая точность по отношению к рассмотренным выше критериям.