4. Устойчивость лис-систем

Опр. Дискретная система называется устойчивой, если любому ограниченному входному воздействию соответствует ограниченный отклик, то есть если для любых выполняется , где .

Теорема. Необходимым и достаточным условием устойчивости ЛПП-системы является абсолютная суммируемость импульсной характеристики:

(*)

Доказательство:

1. Необходимость. Рассмотрим ограниченную входную последовательность:

.

Найдем :

. Пусть (*) не выполняется, но тогда система не существует, а значит, система не является устойчивой по определению. Получили противоречие, следовательно, (*) является необходимым условием устойчивости.

2. Достаточность. Пусть (*) выполняется и . Тогда, используя свойство коммутативности свертки, получим:

, то есть выходная последовательность ограничена и исходная система устойчива.

5. Классификация лпп систем по форме импульсной характеристики

КИХ-системы. У ЛПП-систем с конечной импульсной характеристикой (КИХ-систем), как следует из самого названия, импульсная ха­рактеристика представляет собой последовательность конечной длины, т. е. при . КИХ- системы всегда устойчивы, так как для них сумма модулей значений ИХ конечна. При такие системы являются физически реализуемыми.

ЛПП-системы с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-системы) имеют в качестве импульсной характеристики

• правостороннюю ( при ),

• левостороннюю ( при ),

• или двустороннюю ( при ),

последова­тельность.

Такие системы могут быть неустойчивыми. Требование физической реализуемости здесь выполнено только в первом случае при .

Если у КИХ- или БИХ-системы импульсная характеристика равна нулю при , то такая система тоже может быть реализована, если допустить задержку в получении сигнала на выходе. Величина этой задержки должна быть достаточной, чтобы «сдвинуть» импульсную характеристику в область неотрицательных значений аргумента, т. е. не меньше . Строго юворя, при этом реализуется не исходная система, а другая, эквивалентная последовательному соединению системы и уст­ройства задержки. Однако в большинстве практических прило­жений такая замена вполне допустима.

6. Разностные уравнения и структурные схемы.

Для физически реализуемых систем существует описание в виде разностных уравнений с постоянными параметрами. Разностное уравнение с постоянными коэффициентами: .

– порядок разностного уравнения. БИХ-системы имеют ненулевой порядок и являются рекурсивными: для них каждое следующее значение выходной последовательности вычисляется через предыдущих. В случае, если , то система описывает нерекурсивную КИХ-систему.

Разностное уравнение при конечных и описывает более узкий класс физически реализуемых ЛПП-систем, чем свертка. Свертка не всегда может быть преобразована в разностное уравнение, но обратное преобразование (от РУ к свертке) возможно всегда и получается решением РУ.

Методы решения РУ: прямая подстановка в уравнение с дальнейшим обобщением результата методом математической индукции (на примере дискретной правосторонней экспоненты); через обратное Z-преобразование.

По разностному уравнению легко строится структурная схема ЛПП-системы, состоящая из комбинации типовых элементов, осуществляющих операции суммирования , умножения на коэффициент и задержки (сдвига) последовательности .

Структурная схема, соответствующая прямой реализации ЛПП-системы по разностному уравнению:

Структурные схемы широко используются при реализаций ЛПП-систем в виде специализированных вычислительных устройств.