15. Дискретное преобразование Фурье.

Основой цифрового спектрального анализа сигнала является дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Оно переводит из временной области в частотную. Ценность – разработаы быстрые алгоритмы.

Пусть – непрерывная периодическая функция времени с периодом : , .

Ее можно разложить в ряд Фурье или представить через спектр, ряд которого содержит гармонические составляющие с периодами , , и т.д.: .

Опр. называется базисом преобразования или спектральными компонентами преобразования.

При дискретизировании мы получаем тоже периодическую функцию: с разложением . Теперь оставим лишь базисных функций . Тогда получим дискретный спектр следующего вида: .

Опр. Преобразование называется дискретным преобразованием Фурье.

Теперь домножим обе части этого уравнения на и просуммируем по от до :

. При . Откуда .

Опр. называется прямым ДПФ.

Опр. называется обратным ДПФ.

Необходимо помнить, что последовательности и являются периодическими с периодом :

Поскольку при вычислении ДПФ и ОДПФ используются значения только одного периода, то можно все вышесказанное применить и к последовательности, определенной на , которую, однако, надо продолжать периодически.

16. Связь дпф с непрерывным спектром и z-преобразованием

Пусть – последовательность конечной длины, . Вычислим ее -преобразование:

. Вспомним, чему равно ее ДПФ: . Видно, что ДПФ совпадает с -преобразованием, взятым в точке .

По ДПФ можно определить -преобразование: .

Как известно, спектр последовательности есть ее -преобразование при : ,

То есть коэффициенты ДПФ – это отсчеты непрерывного спектра, равномерно взятые на интервале :

Для обратного перехода от ДПФ к спектру достаточно подставить в формулу для перехода от ДПФ к -преобразованию вместо .

17. Использование дпф для вычисления отсчетов непрерывного спектра

Пусть – последовательность конечной длины, . Нужно определить отсчетов ее непрерывного спектра , равномерно распределенных на интервале .

. , – точек. . Рассмотрим . Определим -точечное ДПФ новой последовательности:

. .

Таким образом, дополнение последовательности конечной длины нулями позволяет получить сколь угодно большое число отсчетов ее непрерывного спектра при помощи ДПФ.

Проиллюстрируем сказанное:

18. Использование дпф для вычисления последовательности по ее спектру

Процедура перехода от непрерывных сигнала к его отсчетам называется дискретизацией. Она влияет на форму полученной последовательности.

Пусть – произвольная последовательность. . Пусть -преобразование сходится на единичной окружности : .

Хотим перейти от спектра к исходной последовательности. Вспомним дискретизацию спектра, выберем равномерно расположенных отсчетов , где .

(*)

Рассмотрим сумму . Тогда (*) будет равно .

Периодическая последовательность, полученная при помощи ОДПФ из дискретизированного спектра непериодической последовательности состоит из бесконечной суммы сдвинутых копий исходной непериодической последовательности.

Если последовательность конечна и ее длина превышает , то возникает эффект наложения.