10. Одномерное z-преобразование. Область сходимости

Прямым Z-преобразованием называется комплексная функция , где – комплексная переменная. Сокращенно обозначается как .

Множество значений , для которых ряд сходится, и, следовательно, Z-преобразование существует и является конечным, называется областью сходимости Z-преобразования.

Области сходимости:

: рис. Б за исключением точки . Если , то надо исключить и точку

: рис. В за исключением точки . Если , то надо исключить и точку

В общем случае, когда – бесконечная двусторонняя последовательность, ее Z-преобразование всегда можно представить как сумму Z-преобразований левосторонней и правосторонней последовательностей:

.

Если , то получаем, что полное Z-преобразование сходится внутри кольца – рис Г.

Если , то области сходимости не пересекаются и Z-преобразования двусторонней последовательности не существует.

№	Последовательность	-преобразование	Область сходимости
1		1	Вся -плоскость
2
3
4
5
6
7
8
9
10	,
11	,
12
13			,
14			,
15
16	,

11. Дробно-рациональное z-преобразование. Диаграмма нулей и полюсов. Связь со спектром последовательности

Дробно-рациональные функции можно представить в виде: . Разлагая полиномы на множители, можно привести его к виду , где – нули и – полюсы.

-преобразование полностью описывается своими полюсами и нулями. На их основе строят диаграмму:

Область сходимости ограничивается полюсами

а) Если последовательность левосторонняя, то ее радиус сходимости определяется самым ближним полюсом к точке начала координат

б) Если последовательность правосторонняя, радиус больше самого дальнего полюса, сходимость вне круга

в) Для конечной последовательности сходимость в кольце

Для дробно-рациональной никогда не включается граница

Спектр последовательности есть ее -преобразование, вычисленное на единичной окружности (справедливо, когда единичная окружность находится в области сходимости -преобразования): при .

Если область сходимости не включает единичную окружность, то спектр последовательности не определен, однако -преобразование существует.

12. Основные свойства z-преобразований. Примеры.

Свойство 1. Z-преобразование последовательности существует, и ряд сходится в кольце , где и , если , .

при , при , где и – некоторые положительные числа.

• Если , то последовательность расходится , .

• Если , то она сходится к нулю: , .

• При имеем затухающую в обе стороны последовательность , для которой выполняется условие абсолютной суммируемости.

Свойство 2. Z-преобразование линейно, т. е. если , , то для любых постоянных , выполняется , причем областью сходимости суммы является пересечение областей сходимости слагаемых. Возможно расширение области сходимости при совпадении нулей и полюсов.

Свойство 3. Сдвиг последовательности соответствует умножению на степень : если , то . При сдвиге область сходимости может изменяться за счет включения / исключения точек и .

Свойство 4. Умножение последовательности на аргумент соответствует дифференцированию ее -преобразования: если , то . Область сходимости может меняться на границе.

Свойство 5. Умножение последовательности на экспоненту изменяет масштаб аргумента в -преобразовании. Если с областью сходимости и , то с областью сходимости .

Свойство 6. Инверсия времени последовательности приводит к замене на в выражении -преобразования, т.е. если с областью сходимости и , то с областью сходимости .

Свойство 7. Свертка последовательностей соответствует произведению их -преобразований. Если , то . Областью сходимости суммы является пересечение областей сходимости слагаемых. Возможно расширение области сходимости при совпадении нулей и полюсов.