3. Равномерная сходимость функциональных рядов

Пусть на множестве M задан функциональный ряд (был(3)). Пусть - функциональная последовательность частичных сумм этого ряда (была (4)).

Говорят, что функциональный ряд (3) сходится равномерно на множестве M к функции , если функциональная последовательность (4) сходится к равномерно.

Из критерия Коши для равномерной сходимости функциональной последовательности непосредственно следует

Th 1. Критерий Коши для равномерной сходимости функционального ряда.

Для того, чтобы функциональный ряд (3) сходился равномерно на множестве M необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

, такое, что при всех , и будет . (9)

или .

□ Следует из определения равномерной сходимости функциональной последовательности и критерия равномерной сходимости для функциональной последовательности. ■

Th 1. Достаточный признак Вейерштрасса для равномерной сходимости функционального ряда.

Пусть (10) – сходящийся числовой ряд с положительными членами, а функциональный ряд (3) таков, что при всех натуральных n и при всех

(11),

тогда функциональный ряд (3) сходится равномерно на множестве M.

□ Возьмем произвольное . Тогда в силу сходимости числового ряда (10) для этого выполняется , такое, что при всех , и будет . Тогда в силу (11) будет выполняться (9) . А в силу критерия Коши это означает равномерную сходимость функционального ряда (4).

■

Замечание. Числовой ряд (10) называется мажорирующим рядом для функционального ряда (3).

 Исследуем на равномерную сходимость ряд , .

Сходящийся знакоположительный числовой ряд является мажорирующим для него, т.к.

. Поэтому исходный функциональный ряд сходится равномерно.

4. Основные свойства предельной функции равномерно сходящейся функциональной последовательности и суммы равномерно сходящегося функционального ряда.

Пусть функциональная последовательность (была (1)) сходится равномерно к предельной функции на числовом промежутке M.

Th 1. О непрерывности предельной функции.

Пусть все функции функциональной последовательности (1) непрерывны на M, тогда и предельная функция непрерывна на множестве M.

□ Пусть произвольная точка множества M. Возьмем произвольно .

В силу равномерной сходимости функциональной последовательности (1) найдется N для которого для любого x и в частности . (12)

В силу непрерывности функции в точке для взятого и (13)

выполняется . (14)

Тогда при всех x удовлетворяющих (13) в силу (12) и (14) будет выполняться .

■

Th 2. Об интегрируемости предельной функции.

Пусть все члены функциональной последовательности (1) непрерывны на отрезке , тогда справедливо равенство

, (15)

то есть, допустим предельный переход под знаком интеграла.

□

Возьмем в силу равномерной сходимости функциональной последовательности (1) для взятого будет . Тогда при всех будет . Отсюда следует выполнение (15).

■

Th 3. О дифференцируемости предельной функции.

Пусть все функции функциональной последовательности (1) непрерывно-дифференцируемы на отрезке (т.е. имеют непрерывную производную), причем функциональная последовательность составленная из производных (16)

равномерно сходится на этом отрезке. Тогда предельная функция дифференцируема на , причем выполняется:

. (17)

При этом говорят, что допустим предельный переход под знаком производной.

□

Обозначим - предельную функцию последовательности (16), то есть .

В силу теоремы об интегрируемости предельной функции выполняется:

, , , дифференцируем . Отсюда следует (17).

■

Рассмотрим теперь функциональный ряд (3) равномерно сходящийся на числовом промежутке M к сумме переформулировав теоремы 1-3 для предельной функции последовательности частичных сумм ряда (3) автоматически получаем следующие утверждения.

Th 4. О непрерывности суммы функционального ряда.

Пусть все функции непрерывны на M, тогда и сумма функционального ряда (3) непрерывна на множестве M.

Th 5. Об интегрируемости суммы функционального ряда.

Пусть все функции непрерывны на отрезке , тогда справедливо равенство

, (18)

то есть, допустимо почленное интегрирование функционального ряда.

Th 6. О дифференцируемости суммы функционального ряда.

Пусть все функции функциональной последовательности непрерывно-дифференцируемы на отрезке (т.е. имеют непрерывную производную), причем функциональный ряд составленный из производных равномерно сходится на этом отрезке. Тогда сумма функционального ряда (3) дифференцируема на , причем выполняется:

. (19)

При этом говорят, что допустимо почленное дифференцирование функционального ряда.