9. Использование степенных рядов
Степенные ряды применяют при вычислении определенных интегралов. Для этого раскладывают подынтегральную функцию в степенной ряд и вычисляют полученный интеграл почленно.
.
В тех случаях, когда не удается решить дифференциальное уравнение, его можно решить с помощью рядов.
Рассмотрим линейное дифференциальное
уравнение второго порядка с переменными
коэффициентами
.
Это уравнение не соответствует ни одному
из трех типов дифференциальных уравнений,
допускающих понижение порядка.
Предположим, что функция
,
являющаяся решением уравнения, разложена
в степенной ряд
.
Тогда
,
.
Подставим это разложение в дифференциальное
уравнение
.
Заменим в первой сумме
,
.
Это уравнение преобразуется в тождество, если равны коэффициенты при одинаковых степенях x:
: 
, 
: 
, 
: 
,
: 
, ... 
: 
.
Из последнего равенства следует:
,
и рекуррентное соотношение
,
которое позволяет выразить остальные
коэффициенты через
,
,
,
:
,
,
,
или
В результате точное общее решение уравнения имеет вид:
,
или
Приближенное частное решение задачи Коши можно определять другим способом:
,
если
,
.
Воспользуемся разложением решения в
ряд Маклорена
.
Найдем производные, подставляя в исходное уравнение начальные условия и дифференцируя его.
,
,
,
,
,
,...
Получим приближенное решение
