5. Степенные ряды

Функциональный ряд вида

, (1)

где - фиксированные числа, а z – переменная называется степенным рядом с центром a и коэффициентами .

При , ряд (1) сходится к единице при любых . Поэтому область сходимости степенного ряда не является пустым множеством.

Линейной подстановкой ряд (1) приводится к ряду

, (2)

все свойства которого совпадают со свойствами ряда (1). Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только степенные ряды с центром в точке 0.

Th 1. Теорема Абеля.

Пусть ряд (2) сходится в некоторой точке ,тогда ряд (2) сходится абсолютно в любой точке , удовлетворяющей условию .

□

По условию числовой ряд сходится, следовательно, выполняется необходимый признак сходимости . Но тогда

, , .

Отсюда

, . А так как ряд - сходящаяся геометрическая прогрессия, то ряд сходится по первому признаку сравнения, т.е. сходится абсолютно ряд .

■

Следствие.

Если степенной ряд (2) расходится в некоторой точке , то он расходится и в любой точке с условием .

Th 2. О структуре области сходимости степенного ряда.

Для степенного ряда (2) выполняется одно и только одно из следующих утверждений.

1. Ряд (2) сходится только в точке x=0. Такой ряд называют всюду расходящимся.

2. Ряд (2) абсолютно сходится на всей числовой оси. Такой ряд называют всюду сходящимся.

3. Существует число , такое, что в интервале ряд (2) абсолютно сходится, а на интервалах и он расходится.

□

Обозначим M – множество всех точек, в которых ряд (2) сходится.

1. Очевидно . Если других точек множество M не имеет, то реализуется первый случай.

2. Предположим теперь, что множество M не ограничено. Тогда для любого найдется , такое, что и по теореме Абеля ряд сходится абсолютно в любой точке x. Следовательно, выполняется второе утверждение теоремы.

3. Рассмотрим случай, когда множество M содержит точки, отличные от 0 и ограничено. Пусть - число, ограничивающее M: .

Тогда, если , то и ряд (2) расходится в этой точке. Если , то найдется , такое, что и по теореме Абеля ряд сходится абсолютно в точке x. Следовательно, выполняется третье утверждение теоремы.

■

Замечание.

Число R из третьего утверждения теоремы называется радиусом сходимости степенного ряда, а интервал - интервалом абсолютной сходимости степенного ряда.

Ради единообразия, понятие радиуса сходимости сохраняется и для других случаев. В первом случае полагают , во втором .

6. Отыскание радиуса сходимости степенного ряда

Пусть дан степенной ряд (2)

Th 1.

Пусть все , тогда для радиуса сходимости R степенного ряда (2) справедливы формулы

, (3)

, (4)

если эти пределы существуют.

□

Рассмотрим степенной ряд, составленный из модулей

(5)

По Th 2 из предыдущего параграфа

при ряд сходится, при - расходится. (6)

Исследуем, ряд (5) с помощью признака Деламбера.

.

Ряд (5) сходится, если , то есть если , то есть .

Ряд (5) расходится, если , то есть если , то есть .

Сравнивая с условием (6) получаем формулу (3).

Исследуем, ряд (5) с помощью признака Коши.

.

Ряд (5) сходится, если , то есть если , то есть .

Ряд (5) сходится, если , то есть если , то есть .

Сравнивая с условием (6) получаем формулу (4).

■



. Здесь R=1, - интервал абсолютной сходимости. При и при ряд расходится - область сходимости ряда.



. Здесь R=1, - интервал абсолютной сходимости. При ряд расходится, а при ряд сходится - область сходимости ряда.



. Здесь R=1, - интервал абсолютной сходимости. При ряд сходится, а при ряд расходится - область сходимости ряда.



. Здесь R=1, - интервал абсолютной сходимости. При и при ряд сходится - область сходимости ряда.