7. Основные свойства степенных рядов

Пусть дан степенной ряд (2) с радиусом сходимости R>0.

Th 1. О равномерной сходимости степенного ряда

Каково бы не было число , то степенной ряд (2) равномерно сходится на любом отрезке .

□

Возьмем . Так как принадлежит области сходимости ряда (2), то числовой ряд сходится, а он является мажорирующим рядом для степенного ряда (2) на отрезке : при всех . Ряд (2) на отрезке сходится равномерно (в силу достаточного признака Вейерштрассе о равномерной сходимости функционального ряда).

■

Th 2. О непрерывности суммы степенного ряда

Сумма ряда (2) на интервале является непрерывной функцией.

□

Пусть - произвольная точка. Пусть . На отрезке ряд (2) в силу Th 1 сходится равномерно его сумма в силу теоремы о непрерывности суммы функционального ряда непрерывна на отрезке , а значит и в точке . А так как - произвольная точка интервала , то теорема доказана.

■

Из теорем о равномерной сходимости степенного ряда и теорем о почленном дифференцировании и интегрировании равномерно сходящихся функциональных рядов вытекают следующие теоремы.

Th 3. О почленном интегрировании степенного ряда.

Степенной ряд (2) можно почленно интегрировать от 0 до любого .

Th 4. О почленном дифференцировании степенного ряда.

Степенной ряд (2) можно почленно дифференцировать на интервале .

Замечание.

Радиус сходимости степенных рядов, полученных почленным дифференцированием и интегрированием степенного ряда с радиусом сходимости R тоже равен R.

Th 5. О тождестве степенных рядов.

Пусть степенные ряды и на некотором интервале имеют одну и ту же сумму, тогда при всех .

□

Итак , если . (7)

Отсюда при .

Продифференцируем (7), получим: , если . Отсюда при .

Продолжая дифференцирование, получим равенство всех коэффициентов ряда.

■

8. Разложение непрерывной функции в ряд Тейлора

Пусть функция определена и непрерывна на числовом промежутке M, - внутренняя точка этого промежутка.

Если существует такая последовательность действительных чисел , что выполняется равенство

(8)

,

то говорят, что функция в промежутке M разложена в степенной ряд с центром .

В частности, если промежуток M является интервалом, то говорят также о разложении функции в степенной ряд в окрестности точки .

Из теоремы о тождестве степенных рядов вытекает, что в случае если функция может быть разложена в степенной ряд в промежутке M, то разложение будет единственным.

Пусть функция имеет в точке производные всех порядков, то есть бесконечно дифференцируема, тогда степенной ряд

(9)

называется рядом Тейлора для функции с центром или рядом Тейлора для функции в окрестности .

Если , то ряд Тейлора называют рядом Маклорена. Ряд Маклорена имеет вид

(10)

Th 1. Необходимое условие разложимости функции в степенной ряд

Пусть функция в промежутке M разлагается в степенной ряд, тогда

1. Эта функция бесконечно дифференцируема в точке .

2. Этот степенной ряд является рядом Тейлора.

□

1. Бесконечная дифференцируемость в точке вытекает из теоремы о почленном дифференцировании степенного ряда.

2. Предположим, что разложение функции в степенной ряд имеет вид (8). Из (8) при получаем .

Дифференцируя (8) почленно получим

. (11)

При .

Дифференцируя (11) почленно получим

(12)

При и т.д.

Положим , тогда получим формулу (9) для ряда Тейлора.

■

Th 2. Критерий разложимости функции в степенной ряд

Пусть функция бесконечно дифференцируема в точке . Для того, чтобы функция в промежутке разлагалась в ряд Тейлора с центром необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Тейлора (9) во всех точках стремился к нулю при .

□

Раз у функции имеются производные всех порядков, то имеет место формула

.

- остаточный член формулы Тейлора.

Если , то . И наоборот, если ряд сходится, то и .

■

Разложение в ряд Маклорена элементарных функций.

1. . (13)

Найдем радиус сходимости этого ряда

ряд (13) сходится на промежутке .

2.

. (14)

Ряд (14) сходится на промежутке .

Аналогично можно получить:

3. , . (15)

4. , . (16)

5. , . (17)

6. , если , то ;

если , то ;

если , то . (18)