37. Теорема Котельникова (основная теорема Шеннона).

Теорема Котельникова. Теорема устанавливает принципиальную возможность полного восстановления детерминированной функции с ограниченным спектром по ее отсчетам и указывает предельное значение интервала времени между отсчетами, при которой такое восстановление еще возможно. Она формулируется следующим образом: функция u(t), допускающая преобразование Фурье и имеющая непрерывный спектр, ограниченный полосой частот от 0 до F_c = _c/(2), полностью определяется дискретным рядом своих мгновенных значений, отсчитанных через интервалы времени

Физическая основа теоремы выявляется при рассмотрении связи между формой функции и шириной ее спектра. Только в случае, когда спектр функции безграничен, ее значения в сколь угодно близкие моменты времени могут изменяться произвольно (корреляционная связь между ними отсутствует). Сокращение высокочастотной части спектра до граничной частоты ω₁ равнозначно устранению из временной функции выбросов, которые могли быть сформированы этими высокочастотными составляющими. При меньших граничных частотах ₂, и ₃ имеем более сглаженные функции времени. Поскольку значения этих функций в моменты времени u(t₁) и u(t₁+Δt) в пределах некоторого интервала Δt не могут изменяться существенно, можно ограничиться значениями функции, взятыми через интервалы Δt (отсчетами).

38. Разделение сигналов по форме (кодовое разделение).

Адрес получателя сообщения (номер канала) в асинхронных системах определяется формой соответствующего составного сигнала, что также обеспечивает кодовое разделение каналов.

Сигналы ИВК применяют для повышения помехоустойчивости в аналоговых радиолиниях с временным разделением каналов.

Малое значение коэффициента взаимной корреляции псевдослучайных видеосигналов позволяет осуществить кодовое разделение каналов.

Шумоподобные сигналы с фазовой манипуляцией используются для разделения лучей при многолучевом распространении радиоволн в системах связи -и радионавигации, для подавления сосредоточенных помех и построения систем скрытой связи.

При частотном разделении каналов используются гармонические поднесущие колебания, при временном разделении — импульсные поднесущие в виде последовательности видеоимпульсов с периодом повторения Т„.

Все передатчики изучают на одной частоте, НО перед началом очередной посылки они посылают, скажем, уникальные код. Приёмник его принимает и знает, что это сигнал от конкретного передатчика (в действительности немного не так). Этот метод называется кодовым разделение каналов. Житейский пример: та же бочка. В этом случае жёлоб один, но по нему текут жидкости разной плотности, чтобы они не смешивались. На приёмном конце мы по плотности жидкости определим, откуда она.

39. Пропускная способность непрерывного канала.

Рассмотрим наиболее распространенный случай так называемого двоичного симметричного канала. При этом m = 2 (Iog₂m = I), а вероятности ошибки "переход "1" в "0"" "переход "0" в "1" " одинаковы.

Если теперь рассмотреть в качестве случайного события передачу разряда кода с ошибкой (вероятность р₀), то для определения энтропии, получим:

Н_х/у = Н_у/х = -р_о Iog₂p₀ - (1 - р_о) Iog₂(l - р_о)

С=[1-p₀log₂p₀-(1-p₀)log₂(l-p₀)]/t_x

Таким образом, пропускная способность симметричного двоичного канала с помехами определяется только скоростью передачи разрядов кода (V_x = 1/t_x) и вероятностью ошибок.

Клод Шеннон показал, что за счет кодирования пропускную способность канала с помехами также можно использовать максимально полно (напомним, что сама она будет ниже, чем у канала без помех).

Способ кодирования, который позволяет этого добиться, основан на использовании избыточных кодов, когда каждый информационный блок защищается контрольными разрядами и чем больше длина блока, тем меньше удельный вес этих избыточных разрядов, позволяющих обнаружить и исправить ошибки.

Источник И передает в канал непрерывное сообщение Z(t).

Формирователь сигналов Фс преобразует его в сигнал X(t), приспособленный для передачи по аналоговому каналу.

В линии связи ЛС на сигнал воздействуют случайные аддитивные помехи e(t) (для помех такого типа справедливо соотношение Y(t)=X(t)+e(t)).

Устройство распознавания сигнала восстанавливает сообщение Z(t) по полученному Y(t).

В этой схеме стадия кодирования вообще не рассматривается. Однако подход основан на тех же принципах, что и для дискретного канала, потому нам целесообразно рассмотреть этот вопрос именно здесь.

Вернемся к определению пропускной способности канала связи:

С_бп = max{I_ху}/t_x=max{H_x}/t_x

Величина t_x в нашем случае соответствует шагу дискретизации сигнала dt. Согласно теореме Котельникова (к которой мы вернемся позже), непрерывный сигнал можно полностью восстановить по его дискретным отсчетам, если шаг дискретизации dt вдвое меньше периода самой высокочастотной составляющей f_m сигнала (dt = l/2f_m). Учитывая, что любой физический канал связи всегда имеет ограниченную полосу частот, которые он в состоянии пропустить, величину f_m (а следовательно и dt) можно определить исходя из характеристик канала.

Если значение dx конечно, то непрерывный канал можно рассматривать как дискретный с объемом алфавита m=x_m/dx+1. Если к тому же в канале отсутствуют помехи (Н_х/у = 0), то соотношение можно преобразовать к виду

C=max{H_x}/dt=2f_m*Iog₂m=2f_m*Iog₂(x_m/dx+1)

Отсюда видно, что пропускная способность непрерывного канала без помех (dx -> 0) стремится к бесконечности. Однако, в реальном канале помехи присутствуют всегда, при этом сколько бит информации удается "нагрузить" на один дискретный отсчет, зависит от соотношения мощности полезного сигнала на входе приемника и помехи Рс/Рп.

Клод Шеннон показал, что в случае наиболее "неприятной" помехи типа "белый шум", чья мощность равномерно распределена во всей полосе частот канала, справедливо соотношение:

Сп = f_m log₂(Pc/Pn+1)

Итак, пропускная способность непрерывного канала с помехами:

-пропорциональна ширине полосы частот канала f_m;

-возрастает с увеличением отношения полезный сигнал/помеха (в этом случае будет уверенно распознаваться на фоне помех);

-не равна нулю даже при Рс<<Рп (то есть, передачу информации принципиально можно вести сигналами более слабыми, чем помехи).