§ 2.3.3 Алгоритм решения краевой задачи оду.

Если кроме начальных условий задаются граничные условия, то задача называется краевой. Краевые задачи существуют для уравнений порядка выше первого.

Например, для линейного дифференциального уравнения второго порядка

y" + p(x)y' + g(x)y = f(x)

Решение y(x) должно удовлетворять условию на отрезке [a , b] y(a) = A, y(b) = B (3.43)

Граничные условия могут быть заданы и в общем, виде

₁y(a) + ₁y'(a) = A

₂ (b) + ₂ y'(b) = B

Численные методы решения уравнения вида (3.42) делятся на две группы: сведение решения краевой задачи к последовательности решений задачи Коши и использование конечно-разностных методов.

Конечно-разностные методы решения краевой задачи сводят ее решение путем алгебраизации производных к решению системы алгебраических уравнений относительно значений искомой функции на заданном множестве точек. Алгоритм решения рассмотрим на конкретном примере.

Пусть требуется решить уравнение

y" + x·y' - 0.5y/x = 1

на интервале [2, 2.3] при заданных краевых условиях

y(2) + 2y'(2) = 1

y(2.3) = 2.15

Выберем шаг h = 0.1, тогда множество точек решения будет x₀ = 2,0; x₁ = 2,1; x₂ = 2,2; x₃ = 2,3;

Точки x₁ и x₂ лежат внутри интервала, на котором ищется решение, x₀ x₃ точки граничных условий.

Запишем, конечно- разностное представление граничных условий и уравнения для всех точек.

В первом уравнении первая производная представлена конечно-разностным выражением по трех точеченой схеме для точки x₀ = 2,0 (численное дифференцирование с помощью полинома Лагранжа).

Во второй и третьей точках решения - x₁ ; x₂ в конечных разностях записывается выражение ОДУ. Для представления первых производных использованы центральные разности, а для второй производной вторые разности. После преобразований получим

Подставив значение y₃ в третье уравнение, получим систему из трех уравнений

Система представляет собой СЛАУ, которая решается известными методами. Его решение дает следующий результат.

y₀= 2.235, y₁= 2.185, y₂= 2.158, y₃= 2.15

Для решения краевой задачи используют и другие методы, описанные в рекомендованной литературе и в частности метод "стрельбы".

Тестовые задания для проверки усвоения темы.

1. Дифференциальное уравнение T²₂ y" + T₁y' +y = kx представить в виде системы из двух ОДУ первого порядка.

2. y_i+1 = y_i + 1/6(k₀ + 2k₁ +2k₃ + k₄) – это выражение для численного решения ОДУ методом Эйлера?

3. Решить уравнение 1.5² y" + 6y' +y = 2x на отрезке [0 5] y(0) = 0 c шагом h = 0.5 методом Эйлера.

4. Какие задачи встречаются при решении ОДУ?

5. Существует ли краевая задача решения ОДУ для уравнения, содержащего производную третьего порядка?

6. Решить краевую задачу. y" + 2x²y' +y = x 2y(0.5) - y' (0.5) = 1; y(0.8) =3; h= 0.1.

7. ₁y(a) + ₁ y'(a) = A

₂ (b) + ₂ y'(b) = B

Это форма задания начальных условий при решении краевой задачи ОДУ?

Раздел 2

Методы и алгоритмы многочленного и немногочленного приближения