Раздел 3 Численное определение нулей и экстремумов функций

Посредством уравнений, теорем

Он уйму всяких разрешил проблем

англ. поэт Д. Чосер (1340 – 1400)

Тема 3.1. Методы и алгоритмы нахождение нулей функций

§ 3.1.1. Численное решение рациональных и трансцендентных уравнений

.

В практике инженеров по автоматизации встречаются задачи, когда необходимо решать одно или несколько нелинейных уравнений

Например, для расчета статической характеристики водо-водяного теплообменника надо решать систему из двух нелинейных уравнений.

(3.1)

В качестве неизвестных в этих уравнениях t₂ – конечная температура нагреваемой воды, T₂ – конечная температура греющей среды.

Различают следующие типы нелинейных функций: алгебраические и трансцендентные. В свою очередь алгебраические делятся на виды: целые, рациональные и иррациональные, а трансцендентные на тригонометрические, логарифмические, показательные и др.

В частности многочлены вида a₂ x² +a₁ x+a₀ является целой алгебраической функцией, а уравнение состояния Дитеричи p(υ - b) = RT exp[-a/(RT υ)] трансцендентным.

В случае одного нелинейного уравнения с одним неизвестным решение сводится к нахождению корня уравнения вида

f(x)=0 (3.2).

Если x принимает значение корня, то выражение (3.2) превращается в тождество. Уравнение в общем случае может иметь несколько действительных и комплексных корней.

Если функция на интервале [a , b] имеет действительный корень, то при переходе аргумента через значение корня f(x) меняет знак (признак наличия действительного корня на интервале).

Методы решения нелинейных уравнений делятся на два типа: прямые и итерационные. Прямые методы (аналитические) позволяют записать выражение для получения значения корня. Известны формулы для решения квадратного и кубического многочлена, простейших тригонометрических, логарифмических и показательных уравнений.

Однако сложные математические описания реальных технических систем решать прямыми методами не удаётся. Для их решения используются итерационные методы (последовательных приближений).

В настоящее время существует несколько видов итерационных

методов, каждый из которых имеет своё наименование:

1. Перебора

2. Бисекции (деление отрезка пополам)

3. Хорд (пропорциональных частей)

4. Касательных (Ньютона-Рафсона)

5. Секущих (комбинированный)

6. Простой итерации.

Для понимания сути этих методов необходимо рассмотреть следующие понятия:

интервал изоляции корня - область изменения аргумента уравнения, где функция f(x)=0 меняет знак [a,b], т.е. f(a)·f(b)<0.

Выделение интервалов изоляции из всей области изменения аргумента в интервале от - ∞ до + ∞ будем называть процедурой определения корня.

Эту процедуру можно осуществить графически: вычислить несколько значений функции и построить график. Можно не строить график, а оценить только знаки функции на границе заданного интервала [a , b] и в ряде промежуточных точек.

Если существует непрерывная производная f'(x) и корни уравнения f'(x)=0 легко вычисляются, то процедура отделения корня упростится, так как для этого нужно проверить значения f(x) в точках корней её производной и граничных точках x_н=a; x_к=b.

Необходимую точность значения корня (погрешность решения) можно оценить по следующему соотношению:

|x^* - |  f(x^)/m1, где

 - точность значения корня,

x^* - приближённое значение корня,

m1 - наименьшее значение производной функции f^(x)

на интервале изоляции корня [α, β]

α  x^*  β

Чаще всего применяют соотношение, задаваясь допустимым интервалом изоляции корня

|x^* - |  β -_ α или |x_i+1 - x_i|  

Это условие окончания итерационного процесса.

Иногда для условия окончания итерационного процесса применяется соотношение

|f(x_i+1) - f(x_i)|  ,

но это не рекомендуется делать, так как могут быть большие погрешности.

Общий алгоритм итерационных методов может быть сформулирован следующим образом:

1. Задать значение аргумента x на концах начального интервала изоляции α_н =a; β_н =b и величину точности (погрешности) корня .

2. Проверить, не достигается ли заданная погрешность на выбранном интервале |x_i+1 - x_i|. Если да, то закончить вычисления, иначе перейти к п.3.

3. Сформировать новый интервал изоляции корня. Вычислить соответствующие значения функции. Проверить условие смены знаков на концах нового интервала изоляции.

4. Перейти к пункту 2.

Методы поиска корня различаются по сути дела только процедурой выполнения пункта 3 алгоритма, т.е. способом сужения интервала изоляции для уточнения корня.

Наиболее простым и надежным является метод половинного деления (сужения) интервала. Его алгоритм можно представить следующим описанием.

1. Ввести исходные данные x_н=a; x_к=b, .

2. Вычислить f(a).

3. Вычислить x_i = (a+b)/2 и f(x_i).

4. Если f(x_i)  0, то перейти к пункту 5, иначе к пункту 7.

5. Если x_i – a  , то перейти к пункту 6, иначе к пункту 7.

6. Если f(a)  f(x_i)  0, положить a=x_i, f(a) = f(x_i), иначе положить b= x_i. Перейти к пункту 3.

7. Вывести значение x^ и f(x^). Конец.