1. 5.876 – это число представлено в полулогарифмической форме?

2. 478, 1485; Записать это число в виде десятичной дроби.

3. а) 0.0065; б) 0.0001; в) 78.089; г) 0.793. Где число с двумя значащими цифрами?

4. С = 50; с = 49.6. Найти с и с.

5. р = 7.564. Найти предельную относительную погрешность в узком смысле.

6. а = 7.89 a = ± 0. 01; р = 5.6 р = ± 0. 1 Найти с = а + р и погрешность результата.

7. а = 5.87 a = ± 0. 01; Сколько верных цифр в ПЧ а?

8. 1. вычисление погрешности суммы; 2. вычисление погрешности разности; 3. вычисление погрешности числа в степени; 4. вычисление погрешности функциональной зависимости. а) a+b; б) кa в)  f(a)a. г) a+b; Поставить в соответствие понятию, обозначенному цифрой выражение, помеченное буквой (классифицировать).

9. Записать названия методов вычислений, используемых в математике. Привести примеры.

10. Перечислить характеристики численных методов.

11. Раздел 1

13. Вычислительный эксперимент. Дискретизация выходной математической задачи.

15. Уравнение умнее своих создателей.

16. Генрих Герц (1857 - 1894)

18. Тема 2. Исчисление конечных разностей. Разностные уравнения.

20. § 1.2.1 Табличное представление функций. Система обозначений. Операторы.

22. Хотя непрерывные функции широко используются в инженерной практике, применение вычислительной техники требует иного подхода к их представлению. Любую непрерывную функцию Y одного аргумента X можно представить в виде двух числовых последовательностей : X_к Y_к , К= 0,1,2,3,....... Такие последовательности называют решетчатой (табличной, сеточной) функцией , которая представляет собой значения функции для ряда дискретных значений аргумента с шагом h. F(Х)_{х = nh} = F_n

23. Последовательности принято располагать в виде вертикальной таблицы или графически в виде дискретных ординат (рис.1) , где X_к Y_к узел таблицы, а =X₁X₀ = h - шаг аргумента (таблицы).

24. x x₀, x₁, x₂, … x_n

25. y y₀, y₁, y₂, … y_n

27. y

32. x

33. Рис.1 Решетчатая функция

35. Часто в качестве аргумента, используют целые значения К. Производя, замену переменной, Х на t, проводят операцию нормирования.

36. t = (Х - Х₀ )./  = К. Последовательности X_к Y_к связаны между собой определенным образом. Напомним, что в общем случае, если , _, Y произвольные непустые множества и каждому элементу x ставится вполне определенный элемент yY , то говорят , что определено отображение множества X в множество Y. Формальная запись : F:XY .В частном случае , если  _, Y множества функций , то F: называют оператором. При , Y множества чисел - это функция, а при  - множество функций_, Y - множество чисел - функционал.

37. При этих обозначениях любую вычислительную задачу можно представить формально таким образом: =А, где  - исходные данные, А - оператор, - решение прямой задачи или - решение обратной задачи.

38. В численных методах часто используются операторы: , , , .

39. Например, оператор смещения -  представляется следующим образом

40. y(x)=y(x+h).

42. § 1.2.2. Разностные операторы. Таблицы конечных разностей.

44. Разностные операторы , ,  определяются так:

45. Оператор нисходящих (правых ) разностей y(x)= y(x+h) - y(x) или y_к=y_к+1 - y_к

46. Оператор восходящих (левых ) разностей y(x)= y(x) - y(x-h) или y_к=y_к - y_к-1

47. Оператор центральных (средних) разностей y(x)= y(x+h/2)- y(x - h/2)

48. или y_к=y_к+0.5 - y_к-0.5

49. Разностный оператор, используемый многократно позволяет получать повторные разности порядка r. Например ^ry_к=^r-1y_к+1 - ^r-1y_к.

50. С помощью этих операторов получают последовательности конечных разностей, которые удобно располагать в виде таблиц.

51. Таблица 1

    x -1	y-1
    		y-1
    x0	y0		2y-1
    		y0		3y-1
    x1	y1		2y0
    		y1		3y0
    x2	y2		2y1
    		y2
    x3	y3

53. Таблица правых разностей.

56. Таблица 2

    x-3	y-3
    		y-2
    x-2	y-2		2y-1
    		y-1		3y0
    x-1	y-1		2y0
    		y0		3y-1
    x0	y0		y1
    		y1
    х -1	y-1

58. Таблица левых разностей.

60. Таблица 3

    x-2	y-2
    		.y-3/2
    x-1	y-1		.2y-1
    		.y-1/2		.3y-1/2
    x0	y0		.2y0
    		.y1/2		.3y1/2
    x1	y1		.2y1
    		.y2/2
    x2	y2		.2y2

62. Таблица центральных разностей.

64. Принято все табличные разности записывать целыми числами в единицах последнего разряда без нулей впереди. По первым разностям составляются вторые и т.д. Для получения r разности нужно иметь r + 1 значений функции. Разностный оператор можно применять к функции.

65. Пример.

66. Если y=ax² +bx +c  y=a x² + bx +c1 =a[(x+h)²-x²] +b[(x+h)-x]+c[1-1]=

67. 2ahx+ah² +bh.Таким образом можно вычислять разность от точки x с шагом h .

69. § 1.2.3. Разностные уравнения

71. Разностным уравнением порядка k табличной функции f называют уравнение вида:

72. y_{n =} F( y_n-1, y_n-2 , …y_n-к , х ) , где F известная функция (k+1) переменных. Это уравнение представляет собой рекуррентную формулу, позволяющую по известным значениям функции f в k последовательных точках найти её значение в следующей точке. Если заданы значения y₀ , y₁ ,y₂ , …y_к-1 , то решение разностного уравнения порядка k определяется однозначно. При этом начальные значения играют роль начальных условий.

73. Например, для дифференциального уравнения y´ + y = (x) с учетом, что y´ =(y_n+1 - y_n)/x разностное уравнение запишется так: y_n+1 = x[(x)  y_n] .В качестве первого значения берется y₀.

74. Разностные уравнения для простых дробно-рациональных функций можно составить следующим образом. Пусть требуется вычислить значение функции y= f(x).

75. Запишем функцию в виде F(x , y) = 0. Если F(x , y) непрерывна и имеет непрерывную частную производную F_y^’(x , y)  0 ,то для известного приближенного значения y_n по теореме Лагранжа о среднем значении функции справедливо:

76. F(x , y_n)= F(x , y_n) - F(x , y) = (y_n - y ) F_y^’(x , y_np) , где y_np - промежуточное значение между y_n и y . Тогда

77. y= y_n - F(x , y )/ F_y^’(x , y_np )

78. Полагая y_np  y_n ,получим разностное уравнение

79. y_n+1= y _n  F(x , y _n )/ F_y^(x , y _n )

80. Например, для функции y =x^0.5 x > 0.

81. F(x , y )= y² -x , а F_y^(x , y )= 2y . тогда

82. y_n+1= y_n - (y _n ² - x) / 2 y _n = 0.5 (y _n+ x / y _n).

83. По аналогии можно получить разностные уравнения для функций:

84. 

85. y_n+1= y _n(2-x y _n) ; y_n+1= y _n 0.5(3-x y ² _n) ; y_n+1=0.33333 (2 y _n - x / y ² _n) ;

87. Тестовые задания для самопроверки усвоения темы.

88. 1. y = 3x²; x₁= 1.5; x₂= 2.5; x₃= 3.5; Составить табличные значения числовой последовательности y. Нормировать значение аргумента табличной функции.

89. 2. а) y(x+h) 1. Выражение для оператора центральных разностей.

90. б) y(x+h) - y(x) 2. Выражение для оператора левых разностей.

91. в) y(x) - y(x-h) 3. Выражение для оператора правых разностей.

92. г) y(x+h/2)- y(x - h/2) 4. Выражение для оператора смещения.

93. Поставить в соответствие букве – цифру (классифицировать объекты).

94. 3. Задана аналитическая функция y = a₀ + a₁x + a₂x² ; a₀ =1; a₁ = 0.5; a₂ = 0.1; Составить табличную функцию для пяти значений х₀=1 с шагом 0.5. Для полученной табличной функции составить таблицу правых первых и вторых разностей.

95. 4. y(x) – это обозначение оператора правых разностей?

96. 5. Составить разностное уравнение для функции y = 1/ x².

Раздел 2

Методы и алгоритмы многочленного и немногочленного приближения

Тема 2.1. Прикладные задачи интерполяции и аппроксимации и их алгоритмизация. Методы и алгоритмы решения линейных алгебраических уравнений

§ 2.1.1. Основные понятия теории приближения функций.

В инженерной практике часто приходится следующую задачу. Проводится эксперимент, в результате которого получают табличную функцию {X_i,Y_i}, состоящую из двух числовых последовательностей приближенных чисел. В этой таблице, каждому значению входной переменной X_i соответствует значение выходной переменной Y_i.

В этой ситуации возникают два типа задач. Первая, можно ли представить табличные данные в виде математического описания как непрерывную функцию Y=f(X).

Вторая, как вычислить значение Y в интервале, не совпадающем с табличными значениями X_i и Y_i. Обе эти задачи называют задачами приближения функций. При решении таких задач необходимо принимать решение по четырем аспектам:

• какие и (сколько) узлов использовать?

• какой вид должна иметь функция Y=f(X)?

• какой критерий соответствия использовать для оценки степени совпадения табличной и аналитической функции?

• с какой точностью они должны совпадать?

Получение эмпирической формулы по табличным данным называют задачей аппроксимации, а вычисление значения функции, заданной таблично, в промежутках между узлами аргумента называют задачей интерполяции.

При ответе на первый вопрос обычно руководствуются следующим. Как правило, стараются брать равноудаленные узлы. При больших погрешностях измерения или помехах необходимо брать количество точек с точки зрения статистических критериев.

Функцию f(X) можно выбрать из трех классов известных функций:

• первый включает в себя линейную комбинацию функций 1, х, х², …, хⁿ.

• второй образуют функции sin(a_ix), cos( a_ix);

• третий образуют экспоненциальные функции e ^{– a}_i ^x .

Использование первого варианта называют многочленным приближением, а остальные немногочленным.

В качестве меры согласия используют следующие критерии:

• точное совпадение в узловых точках f(X_i) = Yi;

• сумма квадратов отклонений в узловых точках [Yi- f(X_i)]² должна быть наименьшей (минимальной);

• максимальное отклонение | (f(X) - Y_i ).| < ;  = max| ( f(X) - Y_i)| ; a  X  b, где  - абсолютное отклонение, должно быть минимальным.

Второй критерий часто называют “наименьшие квадраты”, а третий равномерным приближением.

До возможности использования быстродействующих ЭВМ математиками было разработано множество различных методов для решения задачи приближения функций. Наиболее рациональные сейчас используются в математических пакетах MatLab, Matematika, Maple и др. Однако, для понимания существа этих методов целесообразно рассмотреть некоторые из них.