§ 2.2.2.Методы численного интегрирования

Численная реализация оператора интегрирования осуществляется при вычислении определенного интеграла на интервале [x₀ ,x_n]. Суть метода заключается в замене площади подынтегральной функции интегральными суммами.

Геометрическое представление определенного интеграла

x₁ – x₀ = h называют шагом интегрирования.

Существует много методов численного интегрирования. Их различие заключается в той или иной аппроксимации (представления) функции на шаге интегрирования. Если считать, что на отрезке [a b] f(x) = const (аппроксимация по одной точке), то суммироваться будут площади S_i прямоугольников. Причем постоянное значение функции можно брать на левом конце интервала (точка a), на правом конце интервала (точка b) или в середине каждого интервала [0.5(a+b)]. Это три вида метода прямоугольников:

(формула левых прямоугольников)

(формула правых прямоугольников)

(формула центральных прямоугольников), где

x_i-1/2 = 0.5(x_i-1 + x_i) = xi-1 + h / 2, i = 1, 2, 3,..., n

Если на отрезке x₀ , x_i , f(x) аппроксимировать линейной функцией y = a + bx, (по двум точкам), то суммировать надо площади трапеции.

Площадь каждой трапеции на отрезке x_i-1 ,x_i

S_i= 0.5(y_i-1 + y_i )h_i , i = 1, 2, 3,..., n

при h_i = const

Это формула (или метод численного интегрирования) трапеций.

Если аппроксимировать функцию по трем точкам: f(x) = a + bx + cx² , то получают формулу Симпсона.

причем n должно быть четным (число ординат нечетным).

Существует еще несколько методов численного интегрирования в зависимости от метода аппроксимации f(x) подробно описанных в рекомендованной литературе.

Пример 2. Вычислить значение определенного интеграла функции S.

Сформируем табличную функцию для n=8.

Таблица 3

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8
x	1.2	1.44	1.68	1.92	2.16	2.40	2.64	2.88	3.12
y	0.46065	0.51845	0.58383	0.65588	0.73381	0.81691	0.90458	0.99627	1.09153

Δx = h = 0.24

Метод левых прямоугольников:

S1 = 0.24*(0.46065+ 0.51845+ 0.58383+ 0.65588+ 0.73381+ 0.81691 0.90458+ 0.99627) = 1.3609

Интеграл с недостатком.

Метод правых прямоугольников:

S2 = 0.24*(0.51845+0.58383+0.65588+0.73381+0.81691+0.90458+0.99627+1.09153) = 1.5363

Интеграл с избытком.

Метод центральных прямоугольников

S_ср = (S1 + S2)/2 = (1.5363+1.3609)/2 = 1.4486

Метод трапеций

S3 = 0.24*((0.46065+1.09153)/2+(0.51845+0.58383+0.65588+0.73381+0.81691+0.90458+0.99627)) = 1.4366

Метод Симпсона

S4 = 0.08*(0.46065 + 4*(0.51845 + 0.65588 + 0.81691 + 0.99627) +2* (0.58383 + 0.73381 + 0.90458 )+ 1.09153) =1.4357

Вычисление в MATLAB 6 по команде S = quad('(1+0.4*x.^2)./(2+ sqrt(0.5*x.^2+1.3))',1.2,3.12)

дает следующий результат S = 1.4357. Этот метод наиболее точный.

Тестовые задания для самопроверки усвоения темы.

1. dy / dx = ( y₂ – y₁ ) / h – это выражение для вычисления производной с помощью центральной разности?

2. dy / dx = (-3 y₀ +4 y₁ + y₂ ) /2 h - это выражение для вычисления производной с помощью интерполяционного полинома Лагранжа в точке y₂?

3. По заданной табличной функции вычислить значение производной в заданной точке.

4. - это формула численного интегрирования Симпсона?

5. Зависит ли точность численного интегрирования от метода аппроксимации функции?

6. Зависит ли точность численного интегрирования от шага табличной функции?

7. Для заданной функции вычислить определенный интеграл.