1.4. Задание №4.

Для решения задания студент обязан знать определения линейного оператора, обратного оператора и действий над линейными операторами.

Определение № 1. Пусть V и W - линейные пространства. Оператор А, действующий из V в W, называется линейным, если для любых элементов и пространства V и любого выполняются соотношения :

1. А( + ) = А( ) + А( )

2. А( ) = А( ).

Определение № 2. Оператор I, ставящий в соответствие элементу х сам элемент х , называется тождественным, или единичным.

Определение № 3. Суммой линейных операторов А и В называется оператор А+В, определяемый равенством (А+В)х = Ах + Вх.

Определение № 4. Произведением оператора А на скаляр называется линейный оператор А, определяемый равенством ( А)х= (Ах).

Определение № 5. Произведением операторов А и В называется оператор АВ , определяемый равенством (АВ)х = А(Вх).

Определение № 6. Матрицей линейного оператора А в базисе е _i

(I = 1,n) называется матрица А, составленная из столбцов коэффициентов разложения образов Ае _i базисных элементов е _I в том же базисе.

, А=

Между матрицами n-го порядка и операторами, действующими в n –мерном линейном пространстве, существует взаимно-однозначное соответствие при фиксированном базисе в n –мерном линейном пространстве. Действия, совершаемые над линейными операторами, эквивалентны аналогичным действиям над их матрицами.

Определение № 7. Оператор А^-1, действующий из V в V , называется обратным

для оператора А, если выполняется соотношение:

АА^-1=А^-1А=I

Теорема № 1. Для того, чтобы линейный оператор А был обратим, необходимо и достаточно, чтобы его матрица была невырожденной (detА 0).

Матрица обратного оператора А^-1 к оператору является обратной матрицей А^-1 к матрице А линейного оператора А.

Определение № 8. Оператор А называется ортогональным, если он не изменяет скалярного произведения элементов линейного пространства, т. е. для любых х и у , принадлежащих V , выполняется (Ах,Ау) = (х,у).

Одним из свойств ортогонального оператора является ортогональность его матрицы в любом ортонормированном базисе, т. е. матрица такого оператора подчиняется условию А^т=А^-1.

Пример №1. Доказать линейность оператора А , преобразующего элемент х=(х₁,х₂,х₃) в элемент у=Ах=(х₁+2х₂-х₃, 2х₃, х₂-х₁) . Найти матрицу этого оператора и образ элемента х=(1,2,3).

Решение: Проверим условия линейности :

1. А(х₁+х₂)=А(х₁)+А(х₂)

Пусть х₁=(а₁,в₁,с₁) и х₂=(а₂,в₂,с₂) , тогда (х₁+х₂)=(а₁+а₂,в₁+в₂,с₁+с₂)

А(х₁+х₂)=( (а₁+а₂)+2(в₁+в₂)-(с₁+с₂), 2(с₁+с₂), (в₁+в₂)-(а₁+а₂) )=

( а₁+2в₁-с₁+а₂+2в₂-с₂, 2с₁+2с₂, в₁-а₁+в₂-а₂ )=( а₁+2в₁-с₁, 2с₁, в₁-а₁) + (а₂+2в₂-с₂, 2с₂, в₂-а₂)= Ах₁+Ах₂ .

2. , т.к. , то

Следовательно, оператор А является линейным.

Составим матрицу линейного оператора А в каноническом базисе е₁=(1,0,0),е₂=(0,1,0), е₃=(0,0,1):

Ае₁=(1+0-0, 0, 0-1)=(1,0,-1)

Ае₂=(0+2-0, 0, 1-0)=(2,0,1)

Ае₃=(0+0-1, 2, 0-0)=(-1,2,0)

А= , тогда образ элемента х: у=Ах=

Ответ: А= , y=Ax=(2,6,1).

Пример №2. Установить, обратим ли оператор А , преобразующий базис (е₁.,е₂.,е₃) в элементы : Ае₁=е₂-е₃ , Ае₂=е₁+2е₃ , Ае₃=2е₂+е₃

Найти матрицу обратного оператора.

Решение: Матрица оператора А имеет вид А=

det А=-3 , следовательно, оператор А обратим.

Найдем матрицу обратного оператора по формуле:

А₁₁= А₁₂= А₁₃=

А₂₁= А₂₂= А₂₃=

А₃₁= А₃₂= А₃₃=

А^V= , (А^V) ^T = , тогда

А^-1= .

Ответ: А^-1 .

Пример №3. Найти образ элемента х=(1,2,3) относительно оператора В^-1(А-2I), если операторы А и В заданы своими матрицами в одном и том же базисе:

А = В= .