Вариант №7.

Задание №1. Доказать, что в пространстве геометрических векторов скалярное произведение может быть задано формулой , где , .

Задание №2. Доказать, что и образуют базисы в арифметическом пространстве . Найти матрицу перехода от к , если ; .

Задание №3. Дополнить до ортонормированного базиса вектор .

Задание №4. Найти образ элемента относительно оператора -1( ), если операторы а и в заданы матрицами

и .

Задание №5. Найти ядро и образ линейного оператора, преобразующего вектор в вектор

Вариант №8.

Задание №1. Доказать, что в пространстве функций непрерывных на отрезке соотношение задает скалярное произведение. Найти угол между и .

Задание №2. Доказать, что многочлены , , образуют базис в пространстве многочленов степени . Разложить многочлен по базису .

Задание №3. Применить процесс ортогонализации к системе векторов: , , .

Задание №4. Исследовать на ортогональность линейный оператор А, заданный в ортонормированном базисе матрицей

.

Задание №5 Найти ядро и образ линейного оператора А, преобразующего вектор в вектор .

Вариант №9.

Задание №1. Доказать, что множество матриц вида образует линейное пространство. Найти его размерность и базис.

Задание №2. Доказать, что и образуют базис в пространстве геометрических векторов. Найти матрицу перехода от первого ко второму, если , , , , , .

Задание №3. Дополнить до ортогонального базиса элементы и .

Задание №4. Доказать, что оператор А обратим, найти матрицу оператора и образ А^-1х элемента , если оператор А каждому элементу ставит в соответствие элемент .

Задание №5 Найти ядро и образ линейного оператора А, если он преобразует базис в элементы , , ,

Вариант №10.

Задание №1. Доказать, что в пространстве геометрических векторов соотношение задает скалярное произведение. Найти угол между .

Задание №2. Доказать, что совокупность многочленов , , образуют базис в пространстве множеств, степени . Разложить многочлен по базису .

Задание №3. Ортогонализировать систему векторов

Задание №4. Найти образ элемента относительно оператора ,если .

Задание №5 Найти ядро и образ линейного оператора А, преобразующего вектор в вектор .

Вариант №11.

Задание №1. Доказать, что множество всех арифметических векторов , удовлетворяющих условию , является линейным пространством. Найти его размерность и базис.

Задание №2. Доказать, что системы элементов и образуют базисы в арифметическом пространстве . Найти матрицу перехода от к , если .

Задание №3. Дополнить до ортогонального базиса элемент

Задание №4. Доказать, что оператор приводящий элемент в элемент является линейным, найти его матрицу и образ элемента .

Задание №5. Найти ядро и образ линейного оператора А, если произвольный базис он преобразует в базис

.

Вариант №12.

Задание №1. Доказать, что скалярное произведение в пространстве многочленов степени может быть задано соотношением , где и . Найти угол между и .

Задание №2. Доказать, что матрицы , , образуют базис в пространстве диагональных матриц 3-го порядка. Найти координаты в базис .

Задание №3. Применить процесс ортогонализации к системе элементов: и построить ортогональный базис.

Задание №4. Доказать, что оператор заданный матрицей

обратим. Найти матрицу обратного оператора и образ элемента .

Задание №4. Найти ядро и образ линейного оператора А, преобразующего вектор в вектор .