Вариант №2.

Задание №1. Доказать, что в арифметическом 3-х мерном пространстве соотношение задает скалярное произведение. Найти угол между элементами и .

Задание №2. Доказать, что вектора , , образуют базис в пространстве геометрических векторов. Записать координаты вектора в базисе .

Задание №3. Ортонормировать базис пространства :

Задание №4. Операторы А и В заданы матрицами

и . Найти образ элемента относительно оператора ( ).

Задание №5. Найти ядро и образ линейного оператора, преобразующего вектор в вектор .

Вариант №3.

Задание №1. Дано линейное пространство, элементами которого являются всевозможные совокупности из положительных чисел: , … . Сложение и умножение элементов на скаляр определено формулами: . Доказать, что в данном пространстве соотношение:

задает скалярное произведение.

Задание №2. Доказать, что и являются базисами в арифметическом пространстве . Найти матрицу перехода от к , если .

Задание №3. . Дополнить элемент до ортогонального базиса.

Задание №4 Д оказать что оператор А обратим, найти матрицу обратного оператора и образ А^-1х элемента х =(1,0,-2):

Задание №5. Найти ядро и образ линейного оператора А, преобразующего вектор в вектор

Вариант №4.

Задание №1. Доказать, что в пространстве геометрических векторов скалярное произведение нельзя задать соотношением .

Задание №2. Доказать, что , , образуют базис в арифметическом пространстве . Разложить элемент по базису .

Задание №3. Построить ортонормированный базис на системе векторов: , , .

Задание №4. Найти образ элемента относительно оператора ( ) если операторы А и В заданы своими матрицами:

Задание №5. Найти ядро и образ линейного оператора А, преобразующего вектор в вектор

Вариант №5.

Задание №1. Доказать, что множество многочленов имеющих корень кратности и корень кратности , являются линейным пространством. Найдите его размерность.

Задание №2. Доказать, что и образуют базисы в пространстве геометрических векторов. Найдите матрицу перехода от к , если , , , , , .

Задание №3. Скалярное произведение между многочленами 3-й степени и определяется формулой . Дополнить до ортогонального базиса многочлены , .

Задание №4. В линейном пространстве с базисом задан оператор А. Исследовать его на обратимость и найти образ А^-1х для х=(1,0,-1), если

Задание №5. Найти ядро и образ линейного оператора А, преобразующего вектор в вектор

Вариант №6.

Задание №1. Доказать, что в пространстве диагональных матриц скалярное произведение нельзя задавать формулой .

Задание №2. Доказать, что система многочленов , и образует базис в линейном пространстве многочленов степени . Разложить многочлен по базису .

Задание №3. Построить ортогональный базис на системе элементов: , , , .

Задание №4. Исследовать на линейность оператор А, преобразующий вектор ) в вектор

Найти матрицу оператора А и образ элемента .

Задание №5. Найти ядро и образ линейного оператора А, если он преобразует базис в элементы

, , ,