Решение: Найдем матрицу в-1(а-2i) оператора в-1(a-2е):

det B= ;

В^{V= ;} В^-1= 1/9 .

Тождественный оператор I имеет единичную матрицу .

Тогда В^-1(А-2Е) = 1/9 ⁼

⁼

Найдем образ элемента х : y=Ax=

Ответ: y=Ax=(-2,-1,7).

Пример №4. В пространстве с ортонормированным базисом е₁, е₂, е₃ задан линейный оператор А . Исследовать его на ортогональность и найти образ элемента х=( ) , если

Решение: Выпишем матрицу оператора а:

А =

Проверим условие ортогональности матрицы: A ^т=A ^-1

detA=

А^V = ,

А^-1 = -1

Действительно, А^T = = А^-1 , следовательно оператор А ортогональный.

Y=Ax= .

Ответ : y=Ax=(0,-5,5).

1. Задание №5

Студент должен знать определения ядра и образа линейного оператора и уметь решать однородные системы линейных уравнений.

Определение №9. Совокупность всех элементов Х линейного пространства V, которые оператор А переводит в нулевой элемент, т.е. таких, что Ах=0, называется ядром оператора А и обозначается kerA.

Определение №10. Совокупность всех элементов y, таких, что y=Ax, где х – любой элемент пространства V, называется образом оператора А и обозначается imA.

Теорема №2 Сумма размерностей ядра и образа линейного оператора ,

действующих из V в V, равна размерности пространства V: dimV=dim(imA)+dim(kerA).

Пример № 5. Найти ядра и образ линейного оператора А , преобразующие всякий элемент х=(х₁,х₂,х₃)^Т в элемент Ах=(3х₁+х₂-2х₃, 5х₁+3х₃, -х₁-2х₂+7х₃).

Решение: По определению ядра, необходимо найти все такие х, для которых Ах=0

1. Решить однородную систему:

3х₁+х₂-2х₃=0

5х₁+3х₃=0

-х₁-2х₂+7х₃=0

Рассмотрим матрицу этой системы, которая является матрицей линейного оператора А.

M₃=0, М₂= =5 0  rang А=2

х₁ и х₂ – базисные неизвестные,

х₃ = с – свободная неизвестная

Т огда -х₁-2х₂+7с=0 х₁=-2х₂+7с=-38с/5+7с=-3с/5

0-5х₂+19с=0 х₂=19с/5

х₃=с х₃=с

Х= =с

Следовательно, kerA представляет собой множество размерности 1 с базисом е₁=[-3/5, 19/5, 1].

По определению образа, необходимо найти все такие элементы у, что у=Ах, т.е.

Таким образом, образ линейного оператора А является линейной оболочкой столбцов его матрицы А. Следовательно, базисом образа будет являться линейно независимая подсистема среди столбцов матрицы А.

М₂= 0  rang А=2

и - линейно независимы и образуют базис образа линейного оператора. Заметим, что выполняется теорема о сумме размерностей ядра и образа.

dim(ker)+dim(im)=dimL

1 + 2 = 3

2. Варианты контрольной работы№3 Вариант №1.

Задание №1. Доказать, что множество решений данной системы является линейным пространством. Найти его размерность и базис.

Задание №2. Доказать, что многочлены: , , и , , образуют базисы в линейном пространстве многочленов степени . Найти матрицу перехода от к .

Задание №3. Дополнить векторы и до ортонормированного базиса.

Задание №4. Исследовать на линейность оператор А, преобразующий вектор ) в вектор

В случае линейности найти его матрицу и образ вектора .

Задание №5. Найти ядро и образ линейного оператора если он преобразует произвольный базис в элементы