Глава 3.1. Электростатика

Электростатика – раздел учения об электричестве, в котором изучается взаимодействия и свойства систем неподвижных (относительно данной инерциальной системы отсчета) зарядов.

В природе существуют два рода электрических зарядов – положительные и отрицательные. Имеются частицы, заряд которых равен нулю (например, нейтрон). Это означает, что они не могут участвовать в электромагнитном взаимодействии.

Силы взаимодействия между телами или частицами, обусловленные электрическими зарядами, называются электромагнитными. Силы взаимодействия между неподвижными зарядами называются электростатическими.

Точечным электрическим зарядом называется заряженное тело, размерами и формой которого можно пренебречь в условиях данной задачи.

Электрический заряд любой системы состоит из целого числа элементарных зарядов   (величина заряда электрона – квант электрического заряда).

Закон сохранения электрического заряда:

Алгебраическая сумма зарядов тел или частиц, образующих электрически замкнутую систему, остается постоянным независимо от процессов, происходящих в этой системе  .

1) Взаимодействие между неподвижными электрически заряженными частицами или телами осуществляется посредством электростатического поля.

2) Если размеры заряженного тела много меньше расстояний, рассматриваемых в данной задаче, то такие тела называются точечными зарядами.

3) Сила взаимодействия двух точечных зарядов в вакууме пропорциональна произведению модулей зарядов ¦q1¦ и ¦q2¦ и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними (закон Кулона):  , где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от системы единиц, в СИ:  а   – электрическая постоянная. Размерности [q], [r], [F] соответственно Кл (кулон), м (метр), Н (ньютон).

4) Если взаимодействуют два точечных заряда, находящихся в среде с диэлектрической проницаемостью ε, то закон Кулона имеет вид:  .

5) Направление кулоновских сил таково: разноименные заряды притягиваются, одноименные – отталкиваются.

6) Если имеется несколько электрических зарядов, то на каждый заряд системы действуют независимо силы со стороны остальных зарядов (принцип независимости действия сил). Силы складываются по правилам сложения векторов  . Величина результирующей силы   определяется по теореме косинусов:

;

углы   и   указаны на  рисунке 3.1.1.

Рисунок 3.1.1. – Силы, действующие на  заряд ( ) со стороны других зарядов.

Взаимодействие между неподвижными электрическими зарядами осуществляется посредствомэлектростатического поля. Оно действует на электрические заряды (заряженные тела и частицы), вносимые в это поле  с силой, которая не зависит от скорости движения заряда.

Напряженность, потенциал, разность потенциалов электростатического поля.

 Электрическое поле характеризуется в каждой точке напряженностью   и потенциалом φ:

,        .

Напряженность электрического поля – силовая характеристика электрического поля, она численно равна силе действующей на единичный положительный электрический заряд, помещенный в данную точку поля.

Потенциалом электрического поля называется физическая величина, равная отношению потенциальной энергии пробного точечного заряда, помещенного в данную точку поля, к величине этого заряда.

Потенциал – энергетическая характеристика электрического поля, определяется через понятие энергии или работы. Приведём ещё одно определение потенциала электрического поля.

Потенциалом электрического поля в данной точке называется величина, численно равная работе, совершаемой при перемещении единичного положительного заряда из данной точки поля С на бесконечность  .

Знак потенциала зависит от знака заряда, который создает электрическое поле.

Разность потенциалов   – физическая величина, численно равная работе, совершаемой при перемещении единичного положительного заряда из точки поля 1 в точку 2:  .

Размерности [Е] и [φ] в СИ  соответственно   (вольт на метр) и  (вольт).

Работа в электрическом поле.

Работа, совершаемая кулоновскими силами при малом перемещении  заряда   в электрическом поле, равна , где   – угол между векторами напряженности   и перемещения  . Кулоновская сила – сила потенциальная (консервативная), её работа по замкнутому контуру равна нулю.

Работа, совершаемая кулоновскими силами при перемещении электрического заряда   из одной точки поля в другую, равна убыли потенциальной энергии:

. Знак минус отражает свойство электрического поля перемещать заряд в область с меньшей потенциальной энергией. Электростатическое поле является потенциальным.

Циркуляцией напряженности электрического поля вдоль пути от точки 1 до точки 2 называется величина  .

Циркуляция напряженности электрического поля вдоль замкнутого контура L, проведенного в поле, равна: . Это соотношение верно для поля и в вакууме, и в веществе. Оно определяет потенциальный характер электростатического поля.

Физический смысл циркуляции напряженности электростатического поля следует из соотношения: 

Соотношения между напряженностью и потенциалом электрического поля:  , где   – разность потенциалов на расстоянии  . Знак минус означает, что направление вектора   противоположно направлению роста потенциала.

 Проекция вектора напряженности электростатического поля на произвольное направление численно равна быстроте убывания потенциала поля на единицу длины в этом направлении.

В общем случае   и соотношение между напряженностью и потенциалом имеет вид:  .

Графическое изображение электрических полей.

Электрические поля можно изображать графически: при помощи силовых линий или эквипотенциальных поверхностей (которые взаимно перпендикулярны между собой в каждой точке поля.

Силовыми линиями (линиями напряженности) называются линии, касательные в каждой точке к которым совпадают с направлением вектора напряженности в данной точке.

Эквипотенциальные поверхности – это поверхности равного потенциала.

Принцип суперпозиции.

Если имеется система зарядов, то каждый из них в данной точке пространства создает поле, независимо от других. При наложении этих полей образуется результирующее поле, для которого верны соотношения:

,  (для   суммирование векторное);

, (суммирование алгебраическое (скалярное), т.е. с учетом знаков потенциалов).

 – характеристики электрического поля, создаваемого i –м зарядом.

Поток вектора напряженности:

• Поток вектора напряженности электрического поля сквозь малый участок площадью   называется физическая величина, равная  , где   – угол между векторами напряженности   и нормали к поверхности  .

• Поток вектора напряженности электрического поля сквозь поверхность   равен алгебраической сумме потоков сквозь малые участки этой поверхности:

.

• Поток вектора напряженности электрического поля сквозь замкнутую поверхность   равен  . Положительное положение нормали для замкнутой поверхности  – нормаль, выходящая из поверхности.

Теорема Остроградского – Гаусса.

Поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность, проведенную в поле, равен отношению алгебраической суммы электрических зарядов, находящихся внутри объёма, ограниченного этой поверхностью, на электрическую постоянную  .

Пример: поток вектора напряженности через произвольную поверхность S (см. рисунок 3.1.2) равен 

Рисунок 3.1.2. – Для расчета электрического потока через поверхность S

Энергия системы точечных зарядов.

Всякая система зарядов обладает некоторой потенциальной энергией взаимодействия, которая равна работе, затраченной на создание этой системы. Энергия системы точечных зарядов q₁, q₂, q₃,… q_N  определяется следующим образом:

,

где φ₁ – потенциал электрического поля, создаваемого всеми зарядами кроме q₁ в той точке, где находится зарядq₁ и т.д. Если изменяется конфигурация системы зарядов, то изменяется и энергия системы. Для изменения конфигурации системы необходимо совершение работы.

Потенциальную энергию системы точечных зарядов можно рассчитать другим способом. Потенциальная энергия двух точечных зарядов q₁,  q₂  на  расстоянии   друг от друга равна  . Если зарядов несколько, то потенциальную энергию этой системы зарядов можно определить как сумму потенциальных энергий всех пар зарядов, которые можно составить для этой системы. Так, для системы трех положительных зарядов энергия системы равна

.

Электрическое поле точечного заряда q₀ на расстоянии   от него в среде с диэлектрической проницаемостью ε(см. рисунок 3.1.3).

Рисунок 3.1.3

;  

Потенциал – скаляр, его знак зависит от знака заряда, создающего поле.

Рисунок 3.1.4.

Электрическое поле равномерно заряженной сферы радиуса   в точке С на расстоянии   от её поверхности (рисунок 3.1.4). Электрическое поле сферы аналогично полю точечного заряда, равного заряду сферы qсф и сосредоточенного в её центре.   Расстояние до точки, где определяется напряженность, равно (R+a) 

Вне сферы:

;  

Потенциал внутри сферы постоянен и равен  ,

а напряженность внутри сферы равна нулю

Электрическое поле равномерно заряженной бесконечной плоскости с поверхностной плотностью σ(см. рисунок 3.1.5).

Рисунок 3.1.5.

Поле, напряженность которого во всех точках одинакова, называется однородным.  

Поверхностная плотность σ – заряд единицы поверхности ( , где     – соответственно заряд  и площадь плоскости). Размерность поверхностной  плотности заряда  .

Электрическое поле плоского конденсатора  с одинаковыми по величине, но противоположными по знаку зарядами на пластинах (см. рисунок 3.1.6).

Рисунок 3.1.6

Напряженность между обкладками плоского конденсатора  , вне конденсатора Е=0.

Разность потенциалов uмежду пластинами (обкладками) конденсатора:  , где d – расстояние между обкладками,   – диэлектрическая проницаемость диэлектрика, помещённого между пластинами конденсатора.

Поверхностная плотность заряда   на пластинах конденсатора равна отношению величины заряда на ней к площади пластины:  .