8.3 Втискування плоского циліндричного індентора

Плоский циліндричний штамп втискується в пружний на півпростір силою Р, що діє по осі Z (рис. 20).

Задача осесиметрич­на, тому її розв’язок дається в циліндричних координатах (за­дача Чаплигіна–Са­довського). Розподіл тиску по площі круга описується рівнянням

(85)

(а – радіус штампа).

Проаналізувавши формулу (85), бачимо, що при r = 0

(86)

а якщо r = a, то p = .

Тобто розподіл напружень на площі контакту нерів­номірний: мінімальні на­пруження p=0,5p_c мають місце в центрі, максимальні (на контурі контакту) досягають безмежної величини (p_c– середній тиск). Остання обставина в дій­сності неможлива, оскіль­ки величина напруження обмежена межею текучості для пластичних порід і межею міцності для крих­ких порід.

Е

а a – розрахункова схема; б – розподіл контактного тиску і області напружень

Рисунок 20 – Втискування плоского циліндричного індентора

ксперимен­тальними роботами Шрей­нера Л.А. та ін. встанов­лено, що розподіл напру­жень на площі контакту нерівномірний лише на по­чатку втиску­вання, пізніше його можна прийняти як рівномірно розподілений, тобто

(87)

Переміщення штампа для випадку нерівномірного розподілу тиску визначають за формулою

(88)

а при рівномірному розподілі:

(89)

де  – коефіцієнт Пуассона;

Е – модуль Юнга.

Барон Л.І. проаналізував напружений стан пружного півпростору при втискуванні жорсткого штампа для умови рівномірного розподілу напруження по площадці контакту.

Під штампом розташована область І усестороннього стиску, обмежена поверхнею _x = 0 (рис. 20). Розміри цієї області визначаються радіусом площадки контакту і коефіцієнтом Пуассона. Область І усестороннього стиску оточена областю ІІ, де одне з головних напружень більша за нуль (розтягуюче). Область ІІ знизу обмежена поверхнею _y = 0. Далі розташована область ІІІ, де _x >0 і _у >0.

Д

Рисунок 21 – Розподіл напружень у півпросторі на осі симетрії

ля оцінки співвідношення величин _x, _y, _z розглянемо, як змінюються головні напру­ження під штампом на осі симетрії Z (рис. 21).

На поверхні контакту усі головні напруження рівні між собою (має місце рівномірний усесторонній стиск). З віддаленням від поверхні контакту стискуючі напруження зменшуються, особливо _x і _y , які на деякій глибині переходять в розтягуючі. Однак величина розтягуючих напружень не перевищує 10% від величини нормального тиску. Оскільки боковий тиск практично завжди менший за гірський, із збільшенням глибини рівномірний стиск змінюється на нерівномірний усесторонній стиск (_z_{x, y}). Як результат, виникають дотичні напруження. Вони спочатку зростають, досягаючи максимуму на глибині, що дорівнює радіусу штампа, а потім зменшуються, прямуючи до нуля.

Таким чином, при втискуванні плоского циліндричного штампа найімовірнішими місцями зародження тріщин і руйнування є: на поверхні периферійна зона контакту, а в масиві – область на глибині, рівній радіусу індентора.