1.2. Критерии оптимальности и типы планов

Критерии оптимальности планов подразделяются на две группы.

1)критерии, связанные с ошибками оценок коэффициентов,

2) критерии, связанные с ошибкой оценки поверхности отклика.

1)Геометрическое истолкование свойств ошибок коэффициентов связано со свойствами эллипсоида их рассеяния, определяемого математическим ожиданием и дисперсией значений ошибок.

Критерию D-оптимальности соответствует минимальный объем эллипсоида рассеяния ошибок (минимум произведения всех дисперсий коэффициентов полинома).

Критерию A-оптимальности – план с мин. суммарной дисперсией всех коэф-тов.

Критерию E-оптимальности – план, в котором макс. дисперсия коэф-тов будет мин.

2)Критерии второй группы используются при решении задач описания поверхности отклика, определения ограничений на значения параметров.

Основным здесь является критерий G-оптимальности, который позволяет построить план с минимальным значением наибольшей ошибки в описании функции отклика. Среди всех классов планов основное внимание в практической работе уделяется ортогональным и ротатабельным планам.

Ортогональным называется план, для которого выполняется условие парной ортогональности столбцов матрицы планирования, в частности, для независимых переменных: ,

где N – количество точек плана эксперимента, k – количество независимых факторов.

Использование ротатабельных планов обеспечивает для любого направления от центра эксперимента равнозначность точности оценки функции отклика (постоянство дисперсии предсказания) на равных расстояниях от центра эксперимента. Указанная область будет определена на основе упрощенной модели, полученной по результатам экспериментов.

По соотношению между количеством оцениваемых неизвестных параметров модели и количеством точек плана эксперимента все планы подразделяются на три класса:

ненасыщенные – количество параметров меньше числа точек плана; насыщенные – обе величины одинаковы; сверхнасыщенные – количество параметров больше числа точек плана.

Метод наименьших квадратов применяют только при ненасыщенном и насыщенном планировании.

Между критериями оптимальности и методами построения оптимальных планов экспериментов существует жесткая связь. Построение планов производится с использованием каталогов планов или с методов планирования экспериментов, что является непростой задачей и требует высокой квалификации исследователя в области ТПЭ.

Одной из областей применения ТПЭ является решение задач оптимизации, причем для поиска оптимальных решений используют градиентные методы. Вычисление оценки градиента осуществляется на основе обработки экспериментальных данных.

2. Градиентные методы оптимизации. 2.1. Понятие градиента

Любую совокупность вещественных чисел (v₁, v₂, … , v_k), взятых в определенном порядке, можно рассматривать как точку или вектор с теми же координатами в пространстве k измерений (k-мерном пространстве).

Запись вида v = (v₁, v₂, … , v_k) обозначает точку или вектор v с указанными в скобках координатами. Если для k-мерных векторов v и w справедливы основные алгебраические операции:

-сложение и вычитание: v ± w = (v₁ ± w₁, v₂ ± w₂ , … , v_k ± w_k),

-умножение на действительное число :  × v = ( × v₁,  × v₂, … ,  × v_k),

-скалярное произведение: v × w = (v₁ × w₁+ v₂ × w₂+ … +v_k × w_k),

то совокупность всех таких векторов называют k-мерным евклидовым пространством и обозначают E_k.

Длиной вектора v называют число, определяемое по формуле

.

(2.1)

Если скалярное произведение v × w = 0 при |v| ≠ 0 и |w| ≠ 0, то векторы v и w являются ортогональными.

Единичным называют вектор, определяемый по формуле

.

(2.2)

Пусть в E_k заданы: точка V = (v₁, v₂, … , v_k), единичный вектор t и непрерывно дифференцируемая по всем аргументам функция f(V) = f(v₁, v₂, … , v_k).

Производной в точке V от функции f(V) по направлению луча, определяемого вектором t, называется предел

или

.

Градиентом функции f(V) называют вектор f(V) с координатами, равными частным производным по соответствующим аргументам

.

(2.3)

Градиент указывает направление наибольшего возрастания функции.

Противоположное направление –f(V) называется антиградиентом, оно показывает направление наискорейшего убывания функции.

В точке экстремума V^* градиент равен нулю f(V^* ) = 0.

Если аналитически производные определить невозможно, их вычисляют приближенно f(V) / v_i  f(V) / v_i, где f(V) – приращение функции f(V) при изменении аргумента на величину v_i.

Двигаясь по градиенту (антиградиенту) можно достичь максимума (минимума) функции.