5. Планы для описания поверхности отклика

5.1. Композиционные планы

Применение линейных планов совместно с методом градиентного поиска оптимума позволяет достичь окрестностей точки оптимума. Полином второго порядка содержит эффектов:

.

(5.1)

Построение такой модели требует применения плана, в котором каждая переменная принимает хотя бы три различных значения. Существуют различные подходы к построению планов второго порядка. Можно воспользоваться ПФЭ типа 3^k, но такие планы обладают большой избыточностью.

В соответствии с идеей пошагового эксперимента планирование рационально осуществлять путем добавления специально подобранных точек к “ядру”, образованному планированием для линейного приближения. Такие планы называют композиционными (последовательными), они позволяют использовать информацию, полученную в результате реализации линейного плана.

Решение подобных задач основано на применении ортогональных или ротатабельных центральных композиционных планов (ЦКП).

Эти планы используют в качестве ядра полный факторный эксперимент или минимально возможные регулярные дробные реплики типа 2^{k – p}.

В качестве дробной реплики применяют такую, в которой два любых парных взаимодействия по модулю не равны др. др.

|xixj|  |xs xz|

(5.2)

для любых попарно различных индексов.

Применение ПФЭ или регулярных реплик, отвечающих этим условиям, позволяет получить несмещенные оценки коэффициентов модели (5.1). Из условий построения дробной реплики следует, что разрешающая способность ядра плана должна быть больше четырех, т.е. определяющий контраст должен содержать не менее пяти переменных. В некоторых случаях ЦКП можно сделать приближенно и ортогональным, и ротатабельным, если вначале построить ротатабельный план, а затем подобрать необходимое количество опытов в центральной точке.

5.2. Ортогональные центральные композиционные планы

В планах Бокса к ядру, построенному на основе ПФЭ или ДФЭ, добавляется одна точка в центре плана с координатами (0, 0, ..., 0) и 2k "звездных" точек с координатами ( , 0, ..., 0), ..., (0, 0, ...,  ). Построенный таким образом план будет ЦКП второго порядка. Общее количество точек плана при использовании композиционного планирования составит N = N₀ +2k+ 1, где N₀ – количество точек ядра плана.

В матрице плана второго порядка не у всех столбцов соблюдается условие симметрии и не все пары столбцов ортогональны.

Суммы так как  0 для всех строк плана. Для устранения асимметрии и нарушений ортогональности ЦКП Бокса необходимо провести преобразование квадратичных параметров и специальным образом выбрать величину плеча .

Чтобы добиться соблюдения свойства симметричности следует перейти от x_i² к центрированным величинам x_i^* = x_i² – x²_{i ср} (сумма центрированных величин равна нулю). Среднее значение x²_{i ср} , как видно из табл. 5.3, для всех x_i² одинаково и равно

c = (N0+22)/N.

(5.3)

Тогда исходную квадратичную модель (5.1) можно преобразовать

y^' =b₀ + b₁x₁+ … + b₁x_k + b₁₂x₁x₂ + … + b_{k–1, k} x_k–1x_k+b₁₁(x₁² – x²_{1 ср} + x²_{1 ср}) + … + b_kk(x_k² – x²_{k ср} + x²_{k ср}) =d₀ + b₁x₁+ … + b₁x_k + b₁₂x₁x₂ + … + b_{k–1, k} x_k–1x_k+ b₁₁x₁^* + … + b_kkx_k^*,

где d₀ = b₀ + b₁₁ x²_{1 ср} + … + b_{k–1, k} x²_{k ср} = b₀ + c(b₁₁ + … + b_{k–1, k}).

Исходная и преобразованная модели эквивалентны, кроме того, в них все коэффициенты, за исключением нулевого, совпадают.

После преобразования получим матрицу планирования, которой соблюдается свойство симметричности.

Но столбцы квадратичных членов не являются ортогональными при произвольных значениях : =  0, i  j.

Ортогонализация столбцов, т. е. приравнивание к нулю, достигается специальным выбором величины . Это значение величины  находится из уравнения

N₀ (1 – c)² – 4c(² – c) + (2k – 4)c² + c² = 0.

Или N₀ – 2сN₀ + N₀ с² – 4c² +4c² + 2kс² – 4c² + c² =N₀ – 2(N₀ +2²)с + c² (N₀ + 2k +1)= N₀ – 2с² N + c²N = 0.

Следовательно, с²N = N₀. Тогда с = (N₀ /N)^{1/ 2}.

Подставим найденное значение величины с в уравнение (5.3)

(N₀ /N)^{1/ 2} = (N₀ + 2² )/N.

Решив уравнение, найдем величину , которая придает матрице планирования свойство ортогональности

 = {[(N N0)1/2 – N0]/2}1/ 2.

(5.4)

Оценки коэффициентов регрессии определяются по модифицированной матрице независимых переменных: .

В приведенной формуле m= и обозначает общее количество оцениваемых коэффициентов полинома, за исключением нулевого.

Оценка коэффициента , тогда .

Оценки дисперсии коэффициентов

; ,

где – оценка дисперсии среднего значения функции отклика в u-й точке плана.

Оценка дисперсии функции отклика

.

Оценки дисперсии коэффициентов являются различными, так как вычисляются по разным совокупностям точек плана. Оценка дисперсии функции отклика зависит не только от расстояния до заданной точки от центра, но и от ее положения в пространстве, т. е. ортогональный план второго порядка не являются ротатабельным.

Проверка однородности дисперсии воспроизводимости, адекватности модели, значимости коэффициентов полинома в случае применения ортогональных ЦКП второго порядка осуществляется по рассмотренной выше схеме.