3. Планы для решения задач оптимизации

3.1. Постановка задачи оптимизации

Поиск оптимальных значений параметров В соответствии с теорией эффективности включает следующие действия:

1.сформировать критерий эффективности (функцию отклика в терминах ТПЭ);

2. выделить управляемые и неуправляемые параметры (факторы) системы и среды, оказывающие существенное влияние на критерий эффективности;

3. определить ограничения на значения параметров.

Задача оптимизации заключается в нахождение экстремума функции отклика в области допустимых значений параметров.

Реализация задачи оптимизации, основанная на применении ТПЭ начинается с

определения объекта анализа, цели исследования, изучения сущности исследуемого процесса, анализа имеющихся ресурсов, возможности проведения экспериментов с изучаемым объектом в необходимом диапазоне изменения факторов.

Объектом анализа выступает заданный критерий эффективности исследуемой системы, рассматриваемый как функция от существенных параметров системы и внешней среды.

Система может представлять собой реальный физический объект или его модель – физическую или математическую (имитационную, сложную аналитическую).

Для каждой переменной следует определить диапазон и характер изменения (непрерывность или дискретность).

Фактор должен быть управляемым. Для фактора необходимо указать его конкретные значения и средства контроля.

Цель исследования, требуемая точность получаемых результатов, имеющиеся ресурсы ограничивают множество допустимых моделей функции отклика и соответственно предопределяют план проведения экспериментов.

3.2. Полный факторный эксперимент типа 2k

На начальных этапах оптимизации для определения градиента применяют неполные полиномы второго порядка или линейные полиномы.

Вычисление оценок коэффициентов таких полиномов осуществляется на основе обработки результатов простых планов, в которых каждый фактор принимает только два значения v_{i min} или v_{i max}.

Значения уровней варьирования выбирает исследователь, исходя из возможного диапазона изменения каждого фактора.

Можно считать, что x_i принимают значения – 1 и +1 соответственно.

Множество всех точек в k-мерном пространстве, координаты которых являются комбинациями "+" и "–", называется полным факторным планом или планом полного факторного эксперимента типа 2^k (ПФЭ).

Количество точек в этом плане N =2^k.

Из анализа матрицы следует, что полный факторный эксперимент обладает свойствами:

-ортогональности. Сумма парных произведений элементов любых двух различных столбцов равна нулю.

-симметричности. Сумма всех элементов любого столбца, за исключением первого, равна нулю, например,

-нормированности. Сумма квадратов элементов любого столбца равна числу опытов, .

Первые два свойства обеспечивают независимость оценок коэффициентов модели и допустимость их физической интерпретации. Нарушение этих свойств приводит к взаимной зависимости оценок и невозможности придания смысла коэффициентам.

3.3. Оценки коэффициентов функции отклика

Оценки коэффициентов полинома определяются на основе метода наименьших квадр-в

; .

(3.1)

Здесь величина соотв-ет значению отклика в указ-й точке факторного простр-ва при отсутствии повторных опытов или является оценкой математического ожидания знач-й ф-ции отклика по всем r_u повторным опытам в данной точке.

Допустима следующая интерпретация оценок коэффициентов:

-₀ соответствует значению функции отклика в центре проводимого эксперимента;

-_i равен приращению ф-ции при переходе знач-я фактора i с нулевого уровня на верх-й;

-_ij равен нелинейной части приращения функции при одновременном переходе факторов i и j с нулевого уровня на верхний и т.п.

Ошибки в определении коэффициентов полинома можно охарактеризовать соответствующей дисперсией. С учетом того, что кодированные значения факторов принимают значения +1 и ­– 1, оценка дисперсии коэффициента определяется соотношением

. (3.2)

Эту формулу можно применять, если кол-во опытов во всех точках плана одинаково.

Оценка дисперсии среднего значения в конкретной точке плана ,

где _u² – оценка дисперсии функции отклика в точке u, r_u – число повторных опытов в этой точке плана.