3.4. Дробный факторный эксперимент

С ростом количества факторов k число точек плана в ПФЭ растет по показательной функции 2^k.

В случаях, когда используются только линейные приближения функции отклика, количество опытов следует сократить, используя для планирования так называемые регулярные дробные реплики ПФЭ, содержащие подходящее число опытов и сохраняющие основные свойства матрицы планирования.

Реплика, включающая только половину экспериментов ПФЭ, называется полурепликой, включающая четвертую часть опытов – четвертьрепликой и т. д. Краткое обозначение указанных дробных реплик 2^{k – 1}, 2 ^{k– 2} соответственно.

Построение регулярной дробной реплики или проведение дробного факторного эксперимента (ДФЭ) типа 2^k–p предусматривает отбор из множества k факторов k–p основных, для которых строится план ПФЭ.

Этот план дополняется р столбцами, которые соответствуют остальным факторам. Каждый из этих столбцов формируется по специальному правилу, а именно, получается как результат поэлементного умножения не менее двух и не более k–p определенных столбцов, соответствующих основным факторам.

Т.е. в дробных репликах p линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия. Именно такое построение матрицы планирования и позволяет обеспечить ее симметричность, ортогональность и нормированность.

Правило образования каждого из p столбцов ДФП называют генератором плана.

Каждому дополнительному столбцу соответствует свой генератор (для плана типа 2^{k– p} должно быть задано p различных генераторов).

Генератор задается как произведение основных факторов, определяющее значение элементов соответствующего дополнительного столбца матрицы планирования.

Матрица планирования ДФП типа 2^{k– p} содержит k + 1 столбец и N = 2^{k– p} строк.

3.5. Оценки коэффициентов функции отклика в дробном факторном эксперименте

Применение дробных реплик ведет к смешиванию оценок параметров модели, а их построение предполагает исключение из рассмотрения некоторых взаимодействий факторов. Оценки смешиваются в связи с тем, что каждый из р столбцов дробного факторного плана совпадает с некоторым произведением основных факторов.

Запись плана в виде 2^{k– p} не дает полной характеристики регулярной дробной реплики, так как основные эффекты можно приравнять к различным эффектам взаимодействия.

Правило смешивания, определяющее коррелированные основные эффекты и эффекты взаимодействия, удобно описывать с помощью определяющего контраста реплики.

Определяющий контраст полуреплики получается путем умножения генерирующего соотношения на его левую часть, а так как для любой кодированной переменной x_i² =1, то левая часть формулы определяющего контраста всегда равна единице и обозначается I.

В частности, для ДФП типа 2^{3 – 1} и генераторе x₃ = x₁x₂ имеет место определяющий контраст I = x₁ x₂ x₃.

Чтобы определить, с какими параметрами смешана оценка коэффициента данного фактора, следует умножить обе части определяющего контраста на этот фактор.

Учитывая равенство x_i² =1, получим порядок смешивания оценок коэффициента I = x₁ x₂ x₃ порядок смешивания факторов следующий:

x₁ = x₁² x₂ x₃ = x₂ x₃; x₂ = x₁ x₂² x₃ = x₁ x₃; x₃ = x₁ x₂ x₃² = x₁ x₂ .

Оценки коэффициентов линейной модели для этого плана эксперимента не могут быть получены раздельно и будут смешанными: ₁^*= ₁ + ₂₃ ; ₂^*= ₂ + ₁₃ ; ₃^*= ₃ + ₁₂ .

Планы типа 2^k–р являются ортогональными для моделей с взаимодействиями. Поэтому для вычисления оценок коэффициентов получаются простые формулы, как и для ПФЭ: .

Планы дробных реплик строят различным образом, но так, чтобы соблюдались основные свойства матрицы планирования.

а) первая полуреплика x₁ = x₂ x₃ , x₂ = x₁ x₃ , x₃ = x₁ x₂ ;

б) вторая полуреплика x₁ = – x₂ x₃ , x₂ = – x₁ x₃ , x₃ = – x₁ x₂ .

Коэффициенты линейного полинома полуреплик:

а) β₁^* = β₁ + β₂₃ ; β₂^* = β₂ + β₁₃ ; β₃^* = β₃ + β₂₃ ;

б) β₁^* = β₁ – β₂₃ ; β₂^* = β₂ – β₁₃ ; β₃^* = β₃ – β₂₃ .

Реализовав обе полуреплики, путем сложения и вычитания значений коэф-тов β_i^* можно получить раздельные оценки для линейных эффектов и эффектов взаимодействия.

С ростом количества независимых переменных растет разрешающая способность полуреплик, позволяя оценивать раздельно сначала линейные эффекты, затем парные, тройные взаимодействия и т.д. Но при этом растет и избыточность.

Для полной характеристики разрешающей способности четвертьреплик вводят обобщающие определяющие контрасты, третий компонент которых получается путем перемножения попарно первых двух контрастов. Для выбранной четвертьреплики обобщающий определяющий контраст I = х₁ x₂ x₄ = х₁ x₂ x₃ x₅ = x₃ x₄ x₅ .

Все совместные оценки находятся путем умножения обобщающего определяющего контраста последовательно на х₁, х₂ и т.д. В рассматриваемом случае совместные оценки задаются соотношениями: x₁ = x₂ x₄ = x₂ x₃ х₅ = x₁ x₃ x₄ х₅,

x₂ = x₁ x₄ = x₁ x₃ х₅ = x₂ x₃ x₄ х₅,

. . . . . . .

x₅ = х₁ x₂ x₄ х₅= x₁ x₂ х₃ = x₃ x₄ .

Оценки коэффициентов линейного полинома задаются соотношениями:

β₁^* = β₁ + β₂₄ + β₂₃₅ + β₁₃₄₅ ,

β₂^* = β₂ + β₁₄ + β₁₃₅ + β₂₃₄₅ ,

и т. д.

Разрешающая способность выбранной четвертьреплики невысокая – все линейные эффекты определяются совместно с парными взаимодействиями. Этой репликой можно пользоваться для оценки линейных эффектов при условии равенства нулю соответствующих парных взаимодействий.