29 Вопрос численное решение системы линейных алгебраических уравнений метод Зейделя Метод Зейделя для решения слау

Этот метод является модификацией метода простых итераций и в некоторых случаях приводит к более быстрой сходимости.

Итерации по методу Зейделя отличаются от простых итераций (10.12) тем, что при нахождении i-й компоненты (k+1)-го приближения сразу используются уже найденные компоненты (к +1) -го приближения с меньшими номерами . При рассмотрении развернутой формы системы итерационный процесс записывается в виде

В каждое последующее уравнение подставляются значения неизвестных, полученных из предыдущих уравнений.

Теорема (10.3) о достаточном условии сходимости метода Зейделя. Если для системы какая-либо норма матрицы меньше единицы, т.е. , то процесс последовательных приближений (10.15) сходится к единственному решению исходной системы при любом начальном приближении .

Записывая (10.15) в матричной форме, получаем

(10.16)

где являются разложениями матрицы

Преобразуя (10.16) к виду , получаем матричную форму итерационного процесса метода Зейделя:

(10.17)

Тогда достаточное, а также необходимое и достаточное условия сходимости будут соответственно такими (см. теоремы 10.1 и 10.2): Замечания 10.8

1. Для обеспечения сходимости метода Зейделя требуется преобразовать систему к виду с преобладанием диагональных элементов в матрице а (см. метод простых итераций).

2. Процесс (10.15) называется последовательным итерированием, так как на каждой итерации полученные из предыдущих уравнений значения подставляются в последующие. Как правило, метод Зейделя обеспечивает лучшую сходимость, чем метод простых итераций (за счет накопления информации, полученной при решении предыдущих уравнений). Метод Зейделя может сходиться, если расходится метод простых итераций, и наоборот.

3. При расчетах на ЭВМ удобнее пользоваться формулой (10.16).

4. Преимуществом метода Зейделя, как и метода простых итераций, является его "самоисправляемость".

5. Метод Зейделя имеет преимущества перед методом простых итераций, так как он всегда сходится для нормальных систем линейных алгебраических уравнений, т.е. таких систем, в которых матрица является симметрической и положительно определенной. Систему линейных алгебраических уравнений с невырожденной матрицей всегда можно преобразовать к нормальной, если ее умножить слева на матрицу (матрица — симметрическая). Система является нормальной.