39 Вопрос численное интегрирование метод трапеций метод Рунге оценки точности численого определения интеграла

Метод трапеций для оценки определенного интеграла. Величина определенного интеграла численно равна площади фигуры, образованной графиком функции и осью абсцисс (геометрический смысл определенного интеграла). Следовательно, найти  – это значит оценить площадь фигуры, ограниченной перпендикулярами, восстановленными к графику подынтегральной функцииf(x) из точек a и b, расположенных на оси аргумента x.

Для решения задачи разобьем интервал [a,b] на n одинаковых участков. Длина каждого участка будет равна h=(b-a)/n (см. рис.).

Восстановим перпендикуляры из каждой точки до пересечения с графиком функции f(x). Если заменить полученные криволинейные фрагменты графика функции отрезками прямых, то тогда приближенно площадь фигуры, а следовательно и величина определенного интеграла оценивается как площадь всех полученных трапеций. Обозначим последовательно значения подынтегральных функций на концах отрезков f₀, f₁, f₂,..., f_n и подсчитаем площадь трапеций

В общем случае формула трапеций принимает вид

где f_i – значение подынтегральной функции в точках разбиения интервала (a,b) на равные участки с шагом h; f₀, f_n – значения подынтегральной функции соответственно в точках a и b.

Остаточный член пропорционален длине интервала [a,b] и квадрату шага h

Согласно рис. и формуле остаточного члена, точность вычисления определенного интеграла повышается с уменьшением шага h (увеличением числа отрезков n).

Метод трапеций можно реализовать в виде процедуры или даже функции, поскольку результат вычисления определенного интеграла – скалярная величина. Параметрами программного модуля являются границы интервала (a и b) и число шагов разбиения на малые интервалы n. Для составления универсальной функции целесообразно предусмотреть вычисление подынтегральной функцииf(x) во внешней процедуре – функции.

Правило Рунге — правило оценки погрешности численных методов, было предложено К. Рунге в начале 20 века.^[1]

Основная идея (для методов Рунге-Кутты решения ОДУ) состоит в вычислении приближения выбранным методом с шагом h, а затем с шагом h/2, и дальнейшем рассмотрении разностей погрешностей для этих двух вычислений.

Применение правила Рунге Оценка точности вычисления определённого интеграла

Интеграл вычисляется по выбранной формуле (прямоугольников, трапеций, парабол Симпсона) при числе шагов, равном n, а затем при числе шагов, равном 2n. Погрешность вычисления значения интеграла при числе шагов, равном 2n, определяется по формуле Рунге: , для формул прямоугольников и трапеций  , а для формулы Симпсона  .^[2]

Таким образом, интеграл вычисляется для последовательных значений числа шагов  , где n₀ — начальное число шагов. Процесс вычислений заканчивается, когда для очередного значения N будет выполнено условие  , где ε — заданная точность.

40 Вопрос численное интегрирование метод Симпсона оценки точности численого определения интеграла

Интегрирование по методу Симпсона. Формула трапеций дает результат, сильно зависящий от величины шага h, что сказывается на точности вычисления определенного интеграла особенно в тех случаях, когда функция имеет немонотонный характер. Можно предположить повышение точности вычислений, если вместо отрезков прямых, заменяющих криволинейные фрагменты графика функции f(x), использовать, например, фрагменты парабол, проводимых через три соседних точки графика. Подобная геометрическая интерпретация лежит в основе метода Симпсона для вычисления определенного интеграла. Весь интервал интегрирования [a,b] разбивается на четное число одинаковых отрезков n, длина отрезка также будет равна h=(b-a)/n. Формула Симпсона имеет вид:

В формуле выражения в скобках представляют собой суммы значений подынтегральной функции соответственно на концах нечетных и четных внутренних отрезков.

Остаточный член формулы Симпсона пропорционален уже четвертой степени шага

Для вычисления определенного интеграла методом Симпсона также несложно составить процедуру-функцию с параметрами, аналогичными параметрам функции, реализующей метод трапеций.

В формулах для оценки погрешности квадратурных формул R используются значения производных подинтегральной функции, что требует дополнительного анализа и вычислений. В связи с этим получило распространение практическое правило Рунге оценки погрешности.

Пусть

• I – точное значение интеграла,

• I(n) – значение интеграла вычисленное при n узлах интегрирования h = (b-a)/n,

• I(2n) – значение интеграла вычисленное при 2*n узлах интегрирования, h = (b-a)/2n.

Необходимо определить, с какой точностью вычислен итеграл I(2n), т.е. найти абсолютную погрешность

Для непосредственно определения данной погрешности необходимо найти максимум модуля соответствующей производжной от интегрируемой функции на отрезке [a, b]. Часто это достаточно трудоемкий или вообще невозможный процесс. Напрмер если интегрируемая функция задана таблично. В таких случаях оценку погрешности   величины I(2n) можно провести следующим образом:

Здесь m = 3 для методов средних прямоугольников и трапеций, m = 15 для метода Симпсона.