36 Вопрос

При большом количестве узлов интерполяции сильно возрастает степень интерполяционных многочленов, что делает их неудобными для вычислений. Высокой степени многочлена можно избежать, разбив отрезок интерполяции на несколько частей с построением на каждой части самостоятельного интерполяционного многочлена. 1. Кусочно-линейная интерполяция Простейшим, часто используемым видом локальной интерполяции, является кусочно-линейная интерполяция. Она состоит в том, что заданные точки   ( ) соединяются прямолинейными отрезками, а функция  приближается к ломаной с вершинами в данных точках. Для каждого из   интервалов  , ( ) в качестве уравнения интерполяционного многочлена используется уравнение прямой, проходящей через две точки  ,  :  (1) Следовательно, при использовании кусочно-линейной интерполяции сначала необходимо определить интервал, в который попадает значение аргумента  , затем подставить значение   в формулу (1) для найденного интервала и найти приближенное значение функции  . Можно показать, что интерполирование по формуле (1) тождественно интерполированию с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа первой степени ( ) для точек  ,  :  (2) Формулы (1) и (2) эквивалентны. 2. Кусочно-квадратичная интерполяция В случае кусочно-квадратичной интерполяции в качестве интерполяционной функции на отрезке ( ) принимается квадратичный трехчлен: , (3) где  . Для определения неизвестных коэффициентов   необходимы три уравнения. Ими служат условия прохождения параболы через три точки  ,  ,  . Эти условия можно записать в виде:  (4) Интерполяция для любой точки   проводится по трем ближайшим точкам. Решив систему (4) относительно  , и подставив найденные значения в уравнение (3), получим интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени ( ) для трех соседних точек  ,  ,  : 

37 Вопрос интерполяционный кубический сплайн определение Формулировка. Задачи Кубический интерполяционный сплайн

Слово сплайн (английское слово "spline") означает гибкую линейку, используемую для проведения гладких кривых через заданные точки на плоскости. Форма этого универсального лекала на каждом отрезке описывается кубической параболой. Сплайны широко используются в инженерных приложениях, в частности, в компьютерной графике. Итак, на каждом i–м отрезке [x_i–1, x_i], i=1, 2,…, N, решение будем искать в виде полинома третьей степени:

S_i(x)=a_i+b_i(x–x_i)+c_i(x–x_i)²/2+d_i(x–x_i)³/6

Неизвестные коэффициенты a_i, b_i, c_i, d_i, i=1, 2,..., N, находим из:

• условий интерполяции: S_i(x_i)=f_i, i=1, 2,..., N; S₁(x₀)=f₀,

• непрерывности функции S_i(x_i–1)=S_i–1(x_i–1), i=2, 3,..., N,

• непрерывности первой и второй производной:

S ^/_i(x_i–1)=S ^/_i–1(x_i–1), S ^//_i(x_i–1)=S ^//_i–1(x _i–1), i=2, 3,..., N.

Учитывая, что  , для определения 4N неизвестных получаем систему 4N–2 уравнений:

a_i=f_i, i=1, 2,..., N,

b_i h_i – c_ih_i²/2 + d_i h_i³/6=f_i – f_i–1, i=1, 2,..., N,

b_i – b_i–1 = c_i h_i – d_i h_i²/2, i=2, 3,..., N,

d_i h_i = c_i – c_i–1 , i=2, 3,..., N.

где h_i=x_i – x_i–1. Недостающие два уравнения выводятся из дополнительных условий: S ^//(a)=S ^//(b)=0. Можно показать, что при этом  . Из системы можно исключить неизвестные b_i , d_i , получив систему N+1 линейных уравнений (СЛАУ) для определения коэффициентов c_i:

c₀ =0, c_N =0,

h_ic_i–1+2(h_i+h_i+1)c_i+h _i+1c_i+1=6 , i=1, 2,…, N–1. (1)

После этого вычисляются коэффициенты b_i, d_i:

, i=1, 2,..., N. (2)

В случае постоянной сетки h_i=h эта система уравнений упрощается.

Данная CЛАУ имеет трехдиагональную матрицу и решается методом прогонки.

Коэффициенты   определяются из формул:

Для вычисления значения S(x) в произвольной точке отрезка z∈[a, b] необходимо решить систему уравнений на коэффициенты c_i, i=1,2,…, N–1, затем найти все коэффициенты b_i, d_i. Далее, необходимо определить, на какой интервал [x_i0, x_i0–1] попадает эта точка, и, зная номер i₀, вычислить значение сплайна и его производных в точке z

S(z)=a_i0 +b_i0(z–x_i0)+c_i0(z–x_i0)²/2+d_i0(z–x _i0)³/6

S ^/(z)=b_i0+c_i0(z–x_i0)+d_i0(z–x _i0)²/2, S ^//(z)=c_i0+d_i0(z–x _i0).

Пример.

	x0,f0	x1,f1	x2,f2	x3,f3	x4,f4
х	0	¼	1/2	3/4	1
f	1	2	1	0	1

Требуется вычислить значения функции в точках 0.25 и 0.8, используя сплайн – интерполяцию.

В нашем случае: h_i=1/4,  .

Выпишем систему уравнений для определения  :

Решая эту систему линейных уравнений, получим:  .

Рассмотрим точку 0.25, которая принадлежит первому отрезку, т.е.  . Следовательно, получим, 

Рассмотрим точку 0.8, которая принадлежит четвертому отрезку, т.е.  .

Следовательно,