38 Вопрос численное интегрирование метод прямоугольников метод Рунге оценки точности численого определения интеграла Метод прямоугольников.

Вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница не всегда возможно. Многие подынтегральные функции не имеют первообразных в виде элементарных функций, поэтому мы во многих случаях не можем найти точное значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. С другой стороны, точное значение не всегда и нужно. На практике нам часто достаточно знать приближенное значение определенного интеграла с некоторой заданной степенью точности (например, с точностью до одной тысячной). В этих случаях нам на помощь приходят методы численного интегрирования, такие как метод прямоугольников, метод трапеций, метод Симпсона (парабол) и т.п.

В этой статье подробно разберем метод прямоугольников для приближенного вычисления определенного интеграла.

Сначала остановимся на сути этого метода численного интегрирования, выведем формулу прямоугольников и получим формулу для оценки абсолютной погрешности метода. Далее по такой же схеме рассмотрим модификации метода прямоугольников, такие как метод правых прямоугольников и метод левых прямоугольников. В заключении рассмотрим подробное решение характерных примеров и задач с необходимыми пояснениями.

Навигация по странице.

• Суть метода прямоугольников.

• Метод средних прямоугольников.

• Метод левых прямоугольников и метод правых прямоугольников.

• Примеры применения метода прямоугольников при приближенном вычислении определенных интегралов.

Суть метода прямоугольников.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b]. Нам требуется вычислить определенный интеграл  .

Обратимся к понятию определенного интеграла. Разобьем отрезок [a;b] на n частей   точками  . Внутри каждого отрезка   выберем точку  . Так как по определению определенный интеграл есть предел интегральных сумм при бесконечном уменьшении длины элементарного отрезка разбиения  , то любая из интегральных сумм является приближенным значением интеграла  .

Суть метода прямоугольников заключается в том, что в качестве приближенного значения определенного интеграла берут интегральную сумму (далее мы покажем, какую именно интегральную сумму берут в методе прямоугольников).

Правило Рунге — правило оценки погрешности численных методов, было предложено К. Рунге в начале 20 века.^[1]

Основная идея (для методов Рунге-Кутты решения ОДУ) состоит в вычислении приближения выбранным методом с шагом h, а затем с шагом h/2, и дальнейшем рассмотрении разностей погрешностей для этих двух вычислений.

Применение правила Рунге Оценка точности вычисления определённого интеграла

Интеграл вычисляется по выбранной формуле (прямоугольников, трапеций, парабол Симпсона) при числе шагов, равном n, а затем при числе шагов, равном 2n. Погрешность вычисления значения интеграла при числе шагов, равном 2n, определяется по формуле Рунге: , для формул прямоугольников и трапеций  , а для формулы Симпсона  .^[2]

Таким образом, интеграл вычисляется для последовательных значений числа шагов  , где n₀ — начальное число шагов. Процесс вычислений заканчивается, когда для очередного значения N будет выполнено условие  , где ε — заданная точность.