29.Угол между прямыми. Критерии перпендикулярности и параллельности двух прямых. Точка пересечения двух прямых. Расстояние от точки до прямой.
Пусть
заданы две прямые
и
.
Найдем угол между ними.
Из
рисунка видно, что
,где
,
.Воспользуемся
формулой
.
.В
частности, если угол составляет
,
то
.
Это возможно, если
.
Получаем
критерий
перпендикулярности прямых
или
Критерием
параллельности
двух невертикальных прямых на плоскости
и
является равенство:
,т.к.
.
Точка
пересечения двух прямых.
Пусть две прямые заданы своими общими
уравнениями
и
.
Координаты их точки пересечения должны
удовлетворять уравнению каждой прямой,
т.е. они могут быть найдены из систем
Если
две прямые не параллельны, то система
имеет единственное решение.
Расстояние
от точки до прямой. Можно
показать, что расстояние от точки
до прямой
на плоскости Oxy
определяется
по формуле:
.
Пример
. Найти
расстояние между параллельными прямыми
и
.
Выберем
на одной из прямых, например на прямой
,
произвольную точку
.
Тогда искомое расстояние от точки
до прямой
:
30.Кривые второго порядка: окружность и эллипс.
Кривой второго порядка называется линия, определяемая в декартовых координатах уравнением:
.
Все коэффициенты действительные числа и, по крайней мере, одно из чисел А, В, С не равно нулю.Рассмотрим примеры кривых второго порядка:
а)
Окружность.
Так
как окружность
радиусом
есть
геометрическое место точек плоскости,
находящихся на расстоянии
от центра, то
.
Таким
образом, уравнение произвольной
окружности с центром в точке
и радиусом
имеет вид:
,
б)
Эллипс.
Эллипсом
называется множество всех точек
плоскости, сумма расстояний каждой из
которых от двух данных точек этой
плоскости, называемых фокусами, равна
постоянной величине. Уравнение эллипса
имеет вид
.Уравнение
называется каноническим
уравнением эллипса,
и
- полуосями
Точки пересечения эллипса с осями
координат называются вершинами
эллипса. Эксцентриситет определяет
форму эллипса, чем меньше
,
тем меньше его малая полуось отличается
от большой полуоси, т.е. тем меньше эллипс
вытянут вдоль фокальной оси Ox
(оси
на которой расположены фокусы эллипса).
Если центр симметрии эллипса находится
в точке
,
то уравнение его имеет вид
.
31.Гипербола и ее каноническое уравнение.
Гиперболой
называется множество всех точек
плоскости, модуль разности расстояний
каждой из которых от двух данных точек
этой плоскости, называемых фокусами,
равен постоянной величине. Уравнение
гиперболы имеет вид
.Уравнение
называется каноническим
уравнением гиперболы,
и
- полуосями,
- действительная
полуось,
- мнимая.
Точки
пересечения гиперболы с осью Ox
называются вершинами.
С осью ординат гипербола не пересекается.
При неограниченном возрастании абсциссы
точка гиперболы неограниченно приближается
к прямой вида:
.Прямая,
к которой неограниченно приближается
некоторая линия, называется асимптотой.
Из соображений симметрии вытекает, что
у гиперболы две асимптоты:
и
.
Отношение
называется эксцентриситетом
гиперболы. Эксцентриситет определяет
форму гиперболы: чем меньше
,
тем более вытянут в направлении фокальной
оси ее основной прямоугольник. Если
,
то гипербола называется равносторонней.
Для нее
,
асимптоты:
и
,
.
Если центр симметрии гиперболы находится
в точке
,
то ее уравнение имеет вид