32.Парабола и ее каноническое уравнение.
Параболой
называется множество всех точек
плоскости, равноудаленных от данной
точки
этой плоскости, называемой фокусом, и
данной прямой
,
называемой директрисой
(
).Пусть
расстояние между фокусом
и директрисой
равно
.
Эта величина называется параметром
параболы.
Уравнение параболы имеет вид
Уравнение
называется каноническим
уравнением параболы.
Так как
входит в уравнение в четной степени,
парабола симметрична относительно оси
Ох.
Ось симметрии параболы называется
фокальной
осью.
Точка пересечения параболы с ней
называется вершиной
параболы.
Если вершина параболы находится в точке
,
то уравнение такой параболы имеет вид
.
33. Уравнение прямой в пространстве(параметрическое и каноническое)
Прямая
в пространстве определяется произвольной
точкой на ней и направлением, которое
задается произвольным вектором,
параллельным данной прямой, и называемым
направляющим
вектором
прямой. Условие, что точка
лежит на данной прямой, в векторной
форме запишется в виде условия
коллинеарности векторов
и
:
.Перепишем
равенство в координатной форме:
Уравнения называются параметрическими
уравнениями прямой.
При изменении параметра
изменяются координаты x,y,z
и точка
перемещается по прямой. Выражая
из каждого из трех уравнений системы,
получим каноническое
уравнение
прямой:
Для
получения канонического уравнения
прямой, проходящей через две точки
и
,
в качестве направляющего вектора
выбирают вектор
.
Тогда каноническое уравнение прямой,
проходящей через две точки, примет вид
Пример
. Написать
каноническое уравнение прямой, проходящей
через точки
и
.
Решение.
Направляющий вектор прямой – это вектор
Подставляя
в каноническое уравнение координаты
точки
и координаты вектора
соответственно, получим:
.
Пример
2.
Записать уравнение прямой:
в
параметрическом виде.
Решение:
Пусть
,
тогда
34. Уравнение плоскости в пространстве. Расстояние от точки до плоскости.
В
координатной форме имеем уравнение
плоскости:
,
проходящей через заданную точку
параллельно двум заданным векторам.
Пример
.
Написать уравнение плоскости, проходящей
через точки
,
и
.Решение:
Найдем два вектора, параллельных
плоскости
.
,
.
В
качестве точки плоскости подставим в
уравнение координаты точки
.
Получим
Раскрывая определитель по первой строке, получим:
,
откуда
.
Раскрывая скобки и приводя подобные, получим окончательно:
Общее
уравнение плоскости.
,где
.Уравнение
называется общим
уравнением плоскости.
Легко показать, что всякое уравнение
вида является уравнением некоторой
плоскости, если хотя бы один из
коэффициентов А,
В, С
не равен нулю. Если в уравнении коэффициент
,
то плоскость проходит через начало
координат, т.к. координаты точки
удовлетворяют уравнению
.Если
коэффициент
,
то нормальный вектор плоскости
перпендикулярен оси Ox
(проверьте
самостоятельно перпендикулярность
векторов
и
)
и, следовательно, данная плоскость
параллельна оси Ox.
Если коэффициенты
и
,
то плоскость
проходит через ось Ox,
т.к. она параллельна оси Ox
и
проходит через начало координат. Если
коэффициенты
и
,
то нормальный вектор плоскости параллелен
оси Oz
(проверьте самостоятельно коллинеарность
векторов
и
)
и, следовательно, данная плоскость
параллельна плоскости Oxy
и
перпендикулярна оси Oz.
Если коэффициенты
,
то данная плоскость
является координатной плоскостью Oxy
(параллельна плоскости Oxy
и проходит через начало координат).
Пример.
Дана точка
и прямая
.Написать
уравнение плоскости
,
проходящей через точку
перпендикулярно к прямой
.
Решение:
Направляющий вектор
прямой
является одновременно перпендикуляром
к плоскости
.
Поэтому уравнение плоскости имеет вид
,
откуда
.
Расстояние
от точки до плоскости. Под
расстоянием от точки до плоскости
понимается длина
перпендикуляра, опущенного из этой
точки на данную плоскость. Пусть дана
точка
и плоскость
.
Можно показать, что расстояние
от точки до плоскости определяется по
формуле
.