1.2 Операции над событиями

Пусть имеется пространство элементарных событий . Будем рассматривать в качестве случайных событий подмножества A, B, C, … этого пространства.

Суммой (объединением) событий A и B называется третье событие А+В , состоящее в осуществлении хотя бы одного из событий А или В. Благоприятными событию А В являются все элементарные события, благоприятные хотя бы одному из событий А или В.

Аналогично определяется сумма любого числа событий .

Произведением (пересечением) событий А и В называется третье событие АВ , состоящее в одновременном осуществлении событий А и В. Благоприятными событию А В являются все элементарные события, благоприятные одновременно событию А и событию В.

Произведение любого числа событий состоит в одновременном осуществлении событий и т. д.

Разностью событий А и В называется третье событие А–В (А\В), состоящее в осуществлении события А без осуществления события В. Событие А\В состоит из элементарных событий благоприятных событию А, за исключением элементарных событий благоприятных событию В.

Противоположным событию А называется событие , состоящее в ненаступлении события А. Событию благоприятны все возможные элементарные события пространства элементарных событий , кроме тех, которые благоприятны событию А ( ).

События А и В называются несовместными, если они не могут произойти одновременно, т. е. одновременное осуществление событий А и В есть событие невозможное ( ).

События образуют полную группу событий, если их сумма составляет пространство элементарных событий ( ), т. е. в результате эксперимента хотя бы одно из событий произойдёт.

Пример 2

Рассмотрим операции над событиями, используя условия из примера 1.

а)

б) ;

;

в) ;

г)

д) События А и В образуют полную группу событий, т. к. .

Пример 3

Е: в прямоугольник (рисунок 1) наудачу бросается точка.

Элементарное событие данного эксперимента – некоторая точка внутри прямоугольника. Пространство элементарных событий (в данном случае – несчётное) – всё множество точек внутри прямоугольника. На множестве определены два события: А={выбранная точка лежит внутри круга А} и В = { выбранная точка лежит внутри круга В}.

Рисунок 1 – Диаграмма Венна-Эйлера

Изобразим области, попадание в которые соответствует осуществлению событий , , , :

Пример 4

Е: в прямоугольник наудачу бросается точка.

На множестве определены три события: А = {выбранная точка лежит внутри круга А}, В = {выбранная точка лежит внутри круга В}, С = {выбранная точка лежит внутри круга С}. Изобразим области, попадание в которые соответствует осуществлению следующих событий , , , :