4 Математическая статистика
4.1. Выборочный метод; эмпирическая функция
распределения; статистическое оценивание параметров
распределения методом моментов
4.2 Проверка статистических гипотез
4.3 Элементы теории корреляции; линейная корреляция
4.1. Выборочный метод; эмпирическая функция
распределения; статистическое оценивание параметров
распределения методом моментов
Предположим,
что для изучения некоторого количественного
признака
из генеральной совокупности извлечена
выборка объема
n
(4.1.1)
Эмпирической (или выборочной) функцией распределения называется функция действительного переменного
,
(4.1.2)
где
– число элементов выборки, меньших х.
Если
признак
имеет непрерывное распределение, то по
выборке (4.1.1) строят интервальный
статистический ряд,
разбивая интервал, содержащий все
элементы выборки (4.1.1) на ряд частичных
интервалов шириной h
и,
подсчитывая
–
частоту элементов выборки, попавших
i-й
интервал
Таблица 10 – Интервальный статистический ряд
Интервалы |
|
|
… |
|
Частоты |
|
|
… |
|
где
Гистограммой
интервального статистического ряда
(таблица 10) называется ступенчатая
фигура, состоящая из прямоугольников,
построенных в прямоугольной системе
координат так, что их основаниями служат
интервалы
отложенные на оси абсцисс, а высоты
равны
соответственно i-му
основанию
(рисунок 31).
Рисунок 31
Кривая
l, проходящая через середины ступеней
гистограммы дает приближенное
представление о кривой распределения
признака
и называется эмпирической кривой
распределения. Площадь гистограммы
равна единице. Часто из некоторых
предпосылок бывает известен тип закона
распределения признака
,
но неизвестны параметры этого
распределения. Например, известно, что
плотность распределения признака
задана функцией
,
где
– неизвестные параметры. Ставится
задача нахождения статистических оценок
параметров
по выборке (4.1.1) наблюдений над
.
Таким образом, оценки – функции от
выборочных значений.
Одним из методов построения таких оценок является метод моментов, который основывается на близости теоретических и эмпирических моментов. Он состоит в следующем:
По
формуле плотности распределения
находим
k
первых начальных теоретических моментов
признака
(4.1.3)
затем по выборке (4.1.1) вычисляем соответственные выборочные моменты
(4.1.4)
Приравнивая каждый теоретический момент соответствующему выборочному, получаем систему из k уравнений
,
(4.1.5)
с
неизвестными
.
Решение
системы (4.1.5), зависящее от элементов
выборки (4.1.1), принимают в качестве
статистических оценок параметров
.
Величина
(4.1.6)
называется выборочной средней и служит статистической оценкой для М[ ].
Величина
(4.1.7)
называется несмещенной выборочной дисперсией и служит статистической оценкой для D[ ].
и
– точечные оценки параметров M[
]
и D[
].
В математической статистике используются еще и интервальные оценки. Доверительным называют интервал, концы которого зависят от выборочных значений и которые с заданной доверительной вероятностью покрывает оцениваемый параметр.
Предположим,
что выборка (4.1.1) взята из нормально
распределенной генеральной совокупности
признака
с неизвестными параметрами a = М[
]
и
.
Связь
между доверительным интервалом,
покрывающим параметр а, с доверительной
вероятностью
задается при этих условиях формулой
,
(4.1.8)
где
t
– критическая точка распределения
Стьюдента с n-1
степенью свободы, соответствующая
уровню значимости
.
Для построения доверительного интервала,
покрывающего параметр
с доверительной вероятностью
,
используется другая формула
(4.1.9)
где
числа
и
находятся из уравнений
(4.1.10)
(4.1.11)
по
таблицам
– распределения с (n-1)
степенью свободы, то есть
и
– критические точки
– распределения с (n
– 1) соответствующие уровням значимости
и
.
Пример 41
Приведенные ниже данные о ценах на 100 видов товаров ( в у. е.) записаны в случайном порядке
126 |
93 |
114 |
126 |
81 |
140 |
129 |
114 |
138 |
140 |
151 |
171 |
152 |
139 |
97 |
163 |
117 |
158 |
125 |
129 |
116 |
129 |
108 |
124 |
105 |
137 |
106 |
140 |
137 |
116 |
120 |
122 |
145 |
136 |
169 |
122 |
232 |
97 |
123 |
112 |
144 |
101 |
148 |
126 |
124 |
125 |
117 |
142 |
133 |
119 |
125 |
170 |
138 |
100 |
80 |
124 |
108 |
90 |
83 |
86 |
163 |
109 |
100 |
125 |
160 |
138 |
144 |
137 |
111 |
128 |
87 |
111 |
130 |
99 |
109 |
165 |
56 |
152 |
115 |
104 |
111 |
107 |
131 |
124 |
162 |
88 |
94 |
92 |
132 |
125 |
112 |
150 |
102 |
82 |
113 |
158 |
107 |
134 |
157 |
101 |
Используя эти данные, необходимо:
1) получить выборку, выбрав 20 значений,
2) записать эмпирическую функцию распределения;
3) построить интервальный вариационный ряд с шириной интервала 20 у.е;
4) построить гистограмму и эмпирическую кривую распределения;
5)
предполагая, что генеральная совокупность
имеет нормальное распределение с
плотностью распределения
найти методом моментов оценки а и
.
Решение.
1) Произведем выборку. Получаем 125, 170, 151, 195, 173, 117, 190, 133, 102, 151, 94, 94, 114, 153, 109, 148, 101, 139, 110, 144.
2)
Для построения
запишем элементы выборки в порядке
возрастания: 94, 94, 101, 102, 109, 110, 114, 117, 125,
133, 139, 144, 148, 151, 151, 153, 170, 173, 190, 196.
3) Составляем вариационный ряд с шириной интервала h = 20 (у.е)
Интервалы |
[90,110) |
[110,130) |
[130,150) |
[150,170) |
[170,190) |
[190,210] |
Частоты |
5 |
4 |
4 |
3 |
2 |
2 |
4)
Строим гистограмму и эмпирическую
(выборочную) кривую распределения
(рисунок 32), откладывая на оси абсцисс
интервалы, а по оси координат
Рисунок 32
5)
При изучении нормального закона
доказывается, что в плотности
параметр
есть математическое ожидание, а параметр
– дисперсия:
.
Приравнивая
теоретические моменты
и
выборочным
и
,
получаем:
(4.1.12)
(4.1.13)
Используя обозначение (4.1.6), имеем
(4.1.14)
Преобразовывая (4.1.9), находим
.
Итак,
. (4.1.15)
Полученная нами методом моментов оценка (4.1.15) называется смещенной выборочной дисперсией.
По выборке вычислим оценки (4.1.14) и (4.1.15):
6) По формуле (4.1.8):
.
По
условию задачи
.
В
5) мы вычислили
.
Для вычисления несмещенной выборочной
дисперсии
,
сравним формулы (4.1.13) и (4.1.15). Видим, что
.
Подставляя
в эту формулу, имеем
.
Отсюда
.
По таблицам распределения Стьюдента с n-1=19 степенью свободы находим t при доверительной вероятности 0,95.
.
Выписываем из (4.1.8) доверительный интервал:
покрывающий параметр с вероятностью 0,95.
По формуле (4.1.9)
.
и
находим по таблице распределения
с
n-1=19
степенью свободы, используя формулы
(4.1.10) и (4.1.11) с
.
Выписываем доверительный интервал
,
покрывающий параметр с вероятностью 0,95.