1.8 Последовательность независимых испытаний

1.8.1 Последовательность независимых испытаний; испытания

Бернулли; схема Бернулли

Повторные испытания называются независимыми, если вероятности их исходов не зависят от исходов предшествующих испытаний. Например, многократное подбрасывание кубика, стрельба по мишеням (если считать вероятность попадания неизменной), безотказная работа однотипных устройств, эксплуатируемых в одинаковых условиях.

Испытаниями Бернулли называются повторные независимые испытания, в каждом из которых возможны два исхода (условно именуемые “успехом” и “неудачей”), вероятности которых не меняются от испытания к испытанию. Примерами испытаний Бернулли являются: многократное подбрасывание монеты (успех – выпадение герба); стрельба по мишеням в биатлоне (если считать вероятность попадания неизменной); проверка автобусов перед выходом на линию

, (1.8.1.1)

где

Обозначим через m количество успехов в n испытаниях Бернулли. Тогда вероятность того, что в n испытаниях Бернулли произойдёт ровно k успехов, определяется формулой

. (1.8.1.2)

Формула (1.8.1.2) называется формулой Бернулли.

1.8.3 Наиболее вероятное число успехов в схеме Бернулли

Наиболее вероятным числом успехов в схеме Бернулли называется число , для которого справедливо следующее двойное неравенство:

, (1.8.3.1)

т. е. вероятность появления именно успехов в n испытаниях не меньше вероятности появления меньшего или большего числа успехов, чем .

Иначе, наиболее вероятное число успехов в схеме Бернулли определяется следющим двойным неравенством:

. (1.8.3.2)

Пример 24

На автобазе имеется десять автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,8.

Найти: а) вероятность того, что в определенный день на линию выйдут 9 автомашин; б) вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее восьми автомашин; в) наивероятнейшее число вышедших на линию автомашин и соответствующую этому числу вероятность.

Решение. Предполагая, что выходы машин на линию осуществляются независимо друг от друга, условие задачи можно рассматривать как серию из независимых испытаний, в каждом из которых вероятность события А = {выход автомашины на линию} равна 0,8. То есть , .

а) Для определения вероятности того, что в определенный день на линию выйдут 9 из 10 машин автобазы, воспользуемся формулой Бернулли

.

б) Введем в рассмотрение событие B = {нормальная работа автобазы}. Тогда

;

.

в) Наивероятнейшее число вышедших на линию автомашин найдем по формуле . Отсюда . Единственное целое число , удовлетворяющее этому двойному неравенству . Этому значению соответствует наибольшее значение вероятности

1.8.4 Предельная теорема Пуассона

Формула Бернулли позволяет точно определить вероятность появления k успехов в n испытаниях Бернулли. Однако при пременение формулы Бернулли осложнено вычислением больших факториалов и значительными вычислительными погрешностями, связанными с возведением в большую степень чисел, близких к нулю. В данном случае для вычисления вероятности появления k успехов в n испытаниях Бернулли следует использовать специальные предельные теоремы, рассматриваемые ниже.

Пусть число экспериментов Бернулли велико , а вероятность успеха в каждом из них мала таким образом, что произведение const не мало и не велико; тогда вероятность появления ровно k успехов в n испытаниях Бернулли:

. (1.8.4.1)

Замечание 1 – Предельная теорема Пуассона позволяет приближенно вычислять вероятность появления ровно k маловероятных успехов в большом количестве экспериментов. Она тем точнее, чем меньше вероятность успеха и чем больше проводится испытаний Бернулли.

Замечание 2 – Предельная теорема Пуассона может применяться и в случае, если p велико . Для этого следует поменять местами понятия “успеха” и “неудачи”. В случае, когда вероятность успеха близка к 0,5, для вычисления вероятности применяется локальная предельная теорема Муавра-Лапласа, рассматриваемая ниже.

Пример 25

В порту каждые сутки может появиться одно большегрузное судно с вероятностью . Вероятность появления более одного судна в течение суток пренебрежимо мала. Какова вероятность того, что за месяц (30 дней) порт посетят не более 4 судов?

Решение. Предполагая, что суда появляются в порту независимо друг от друга, условие задачи можно рассматривать как серию из независимых испытаний, в каждом из которых вероятность события А = {судно прибывает в порт} равна . Для нахождения вероятности воспользуемся предельной теоремой Пуассона

.