1.5 Свойства вероятностей случайных событий

Вероятности случайных событий обладают следующими важными свойствами:

Свойство 1. P( ) = 0, т. е. вероятность невозможного события равна 0.

Свойство 2. Если в пространстве , содержащем конечное или счётное множество возможных элементарных событий ( ), заданы вероятности элементарных событий , то вероятность произвольного события равна сумме вероятностей элементарных событий, благоприятных событию А, т. е. .

Говорят, что событие А влечёт событие В , если все элементарные события , благоприятные событию А, благоприятны событию В (рисунок 4).

Свойство 3. Если , то .

Рисунок 4 – Пример события А,

которое влечёт событие В

Свойство 4 (следствие свойства 3). Если , то .

Свойство 5. , т.е. сумма вероятностей противоположных событий равна 1 (рисунок 5).

Рисунок 5 – Пример противоположных

событий А и

Свойство 6. , т. е. вероятность произвольного случайного события принадлежит отрезку [0,1].

Свойство 7. Вероятность произведения двух несовместных случайных событий равна нулю. То есть, если события А и В несовместны, то .

Несовместные события , которые образуют полную группу событий, называются гипотезами.

Свойство 8. Сумма вероятностей гипотез равна единице.

Гипотезы, вероятности которых равны, называются шансами.

1.6 Теоремы сложения и умножения вероятностей

1.6.1 Теорема сложения вероятностей

Теорема сложения вероятностей двух событий: Пусть A и B – произвольные случайные события, принадлежащие пространству , тогда вероятность суммы этих событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления (рисунок 6):

(1.6.1.1)

Рисунок 6 – Сумма случайных событий А и В

Следствие. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий: , т. к. вероятность произведения несовместных событий равна нулю по свойству 7.

Теорема сложения вероятностей трёх произвольных событий:

(1.6.1.2)

Пример 18

В подаче вагонов на контейнерную площадку могут находиться четырёхосная платформа с вероятностью 0,35, четырёхосный полувагон с вероятностью 0,5 и шестиосный полувагон с вероятностью 0,15. Найти вероятность того, что выбранный наудачу вагон окажется четырёхосным.

Решение. Пространство элементарных событий этого эксперимента определяется следующим образом:

,

где – выбранный вагон – четырёхосная платформа; – выбранный вагон – четырёхосный полувагон; – выбранный вагон – шестиосный полувагон.

Событие А = {выбран четырёхосный вагон} =  и, следовательно,

.

1.6.2 Условная вероятность; независимость событий

Рассмотрим следующий вероятностный эксперимент E. Пусть в пространстве  определены случайные события A, B, C, … и их вероятности. Предположим, что в ходе эксперимента E событие A уже произошло. Получение дополнительной информации о ходе эксперимента E может привести к желанию пересмотреть вероятности других событий пространства , связанных с событием A. Ведь логично предположить, что появление события A каким-то образом может изменить вероятность появления событий, связанных (зависимых) с ним.

Событие B называется зависимым от события A, если появление (или непоявление) события A изменяет вероятность появления события B. Если наступление события A не изменяет вероятности появления B, событие B называется независимым от события A.

Условной вероятностью (или ) называют вероятность наступления события B при условии, что событие A уже произошло.