Тема 11. Корреляционно-регрессионный анализ

Факторные и результативные признаки. Корреляция. Классификация корреляционных связей. Корреляционное поле. Линейный коэффициент корреляции. Уравнение регрессии. Коэффициент регрессии. Теоретическая линия регрессии. Средняя ошибка аппроксимации. Коэффициент детерминации.

Признаки, под воздействием которых изменяются другие, связанные с ними признаки, называются факторными. Признаки, изменяющиеся под воздействием факторных признаков, называются результативными.

Одна из основных задач статистики – исследование взаимосвязи наблюдаемых процессов и явлений. Выделяют две формы проявления взаимосвязи – полную (функциональную) и неполную (статистическую). Частным случаем статистической связи является корреляция, которая представляет собой зависимость среднего значения исследуемого показателя от учитываемых факторов.

Корреляционные связи различаются по направлению – прямые (положительные) и обратные (отрицательные), по аналитической форме – линейные и нелинейные, по количеству взаимодействующих факторов – парные и множественные, по силе – слабые и сильные, по характеру связи – непосредственные, косвенные и ложные.

Наличие статистической связи между двумя признаками называется парной корреляцией. Первым шагом в исследовании парной корреляции является построение корреляционного поля. По расположению точек, по их концентрации в определенном направлении можно судить о наличии связи.

Для количественной оценки тесноты связи широко используется линейный коэффициент корреляции:

г де x – среднее значение факторного показателя;

y – среднее значение результативного показателя;

x_i – наблюдаемое значение факторного показателя;

y_i – наблюдаемое значение результативного показателя.

Путем несложных математических преобразований можно получить и другие модификации формулы линейного коэффициента корреляции, например:

Линейный коэффициент корреляции может принимать значения от –1 до +1. Если абсолютная величина коэффициента превосходит 0,7 , между результатом и фактором существует тесная связь. Знак определяется в ходе решения. При этом положительный знак коэффициента свидетельствует о том, что между результатом и фактором существует прямая связь; отрицательный знак свидетельствует о наличии обратной связи.

Для описания установленной взаимосвязи необходимо подобрать уравнение регрессии – аналитическое выражение, связывающее исследуемый экономический показатель и учитываемые факторы, влияющие на него.

Если предполагается, что исследуемая связь носит линейный характер, то в качестве модели выбирается класс линейных функций y=a₀+a₁x . Если считается, что связь нелинейная, то определяется соответствующая форма нелинейной зависимости, например: y=a₀+a₁∙x+a₂∙x² (парабола), y=a₀+a₁/x (гипербола) и т.д.

С помощью исходных статистических данных производится оценка параметров модели регрессии. Обычно для этого используется метод наименьших квадратов.

Параметры уравнения регрессии при переменных величинах называются коэффициентами регрессии. Они показывают, на сколько единиц (в абсолютном выражении) изменится величина результативного признака y при изменении фактора x на единицу при условии, что влияние прочих факторов будет сведено к нулю.

Расчетные значения результативного признака, полученные при использовании уравнения регрессии, на графике образуют теоретическую линию регрессии.

П олученная модель проверяется на адекватность – соответствие имеющимся статистическим данным. На практике в качестве критерия используется средняя ошибка аппроксимации:

Здесь y_{i теор} – расчетные значения переменной y, вычисленные по уравнению регрессии. Если значение ошибки не превышает 0,15 (т.е. 15%), то считается, что модель регрессии адекватно описывает реальные статистические данные.

Ч тобы определить, в какой степени вариация переменной y объясняется уравнением регрессии, вычисляется коэффициент детерминации, который изменяется от 0 до 1:

г де y – среднее значение величины y;

y_i – наблюдаемые значения зависимой переменной y;

y_{i теор} – расчетные значения y, полученные из уравнения регрессии.

Можно показать, что значение коэффициента детерминации равно квадрату коэффициента корреляции.

Уравнение регрессии можно рассматривать в качестве модели прогнозирования, но эта модель описывает взаимосвязь переменных лишь в среднем, и прогнозные значения y не будут совпадать с фактическими.

Вопросы для контроля:

1. В чем состоит различие между результатом и фактором?

2. Что такое корреляция и в чем суть корреляционного анализа?

3. Что собой представляет корреляционное поле?

4. Каким образом производится количественная оценка тесноты связи? Как определяется направление связи?

5. Что такое регрессия и в чем суть регрессионного анализа?

6. Расскажите об экономической интерпретации коэффициентов регрессии.

7. Что показывает коэффициент детерминации?

8. В каких случаях возможно использование уравнения регрессии для прогнозирования?