Серия 3.7, 1 класс

1. ПрограМиша написал в ряд числа: 8, 12, 4, 2, 9, 11, 7, 3. Выберите из них три числа, сумма которых равна 16.

Ответ: например, 4, 9, 3 или 2, 11, 3.

2. На острове живут рыцари, лжецы и хитрецы. Рыцари всегда говорят правду. Лжецы всегда лгут. А хитрецы могут как соврать, так и сказать правду. Жителя острова однажды спросили: “Вы лжец?”. А он ответил: “Да, я лжец.” Кто был этот человек?

Ответ: Хитрец. (Рыцарь сказал бы про себя правду: «Я — рыцарь». Лжец бы соврал и не сказал бы, что он лжец. Значит, этот житель острова не рыцарь и не лжец. А хитрец мог солгать и сказать, что он лжец. Значит, этот житель был хитрецом.)

3. Кого больше: котов, кроме тех котов, которые не Васьки, или Васек, кроме тех Васек, которые не являются котами?

Ответ: одинаково («Коты, кроме тех котов, которые не Васьки» — это те коты, которые Васьки. «Васьки, кроме тех Васек, которые не являются котами» — это тоже коты Васьки, получается одно и то же. Итак, их одинаковое количество.)

4. МатеМаша и ПрограМиша решили устроить соревнование хомячков. Для этого они построили две дорожки для хомячков, чтобы каждый бежал по своей и не мешал другому хомячку. План дорожек изображен на рисунке (см.ниже). Но потом ребята задумались, одинаковой ли длины получились дорожки. Помогите им разобраться.

Замечание: Все клетки на плане квадратные и одинакового размера.

Длиннее дорожка А.

Длиннее дорожка Б.

Обе дорожки одинаковой длины.

Ответ: Длиннее дорожка Б (Обозначим одинаковым цветом одинаковые участки двух дорожек. Получаем, что отличаются две дорожки тем, что в первой есть лишний участок по диагонали клетки, а во второй – два лишних участка по двум сторонам клеток. Но сумма длин двух участков по сторонам больше, чем по диагонали – это хорошо видно, если нарисовать их на одной клетке:

путь из одного угла клетки до противоположного короче по прямой, то есть по диагонали клетки.)

5. В классе учатся 15 детей. В течение недели учительница поставила им в журнал несколько оценок по математике. В воскресенье оказалось, что у любых восьми детей вместе присутствуют все четыре вида оценок (от 2 до 5). Какое наименьшее количество оценок всего могла выставить учительница в течение этой недели?

Ответ: 32 (Заметим, что пятерок за неделю должно было быть выставлено не менее восьми. Если бы их было семь или меньше, то по крайней мере 15-7=8 детей не имели бы ни одной пятерки. Тогда у этих восьми детей вместе оказались бы не все виды оценок, так как нет ни одной пятерки. Точно также можно доказать, что четверок было выставлено не менее восьми, троек не менее 8, и двоек не менее 8. Значит, всего оценок было выставлено не менее 8+8+8+8=32. А 32 оценки могли быть выставлены, например, так: восьми детям поставлены по одной оценке каждого вида (всего 4 оценки), а остальным семерым не выставлено ни одной оценки. Тогда среди любых восьми ребят будет хотя бы один с четырьмя оценками, а значит, будут оценки всех видов.)

Серия 3.6, 1 класс

1. В лифте многоэтажного дома кнопка первого этажа находится на высоте 1м 50 см от пола. Кнопка каждого следующего этажа выше предыдущей на 10 см. До какого этажа сможет доехать в лифте мальчик, рост которого 135 см, если он может дотянуться максимум на высоту, превышающую рост на 40см (вытянув руку, встав на носочки и т.п.)?

Замечание: Ребенок знает, что прыгать в лифте строго запрещается и никогда так не делает.

Ответ: до третьего этажа ( Первая кнопка находится на высоте 1м 50 см. Вторая кнопка - на высоте 1м 60см, третья – 1м 70 см, четвёртая – 1м 80 см. Мальчик может дотянуться до кнопки, находящейся максимум на высоте 135+40=175 см или 1м 75см от пола. Значит, мальчик сможет доехать до третьего этажа, а до четвертого уже не сможет.)

2. ПрограМиша и МатеМаша поделили 22 конфеты на 4 кучки. В первой кучке оказалось больше конфет, чем в каждой из остальных кучек. В четвертой кучке конфет больше, чем в третьей. В третьей и четвёртой кучках вместе 13 конфет. Сколько конфет в третьей кучке?

Ответ: 6 конфет (В первой и во второй кучках вместе 22-13=9 конфет. Если в первой кучке меньше 8 конфет, то в четвертой меньше 7, а в третьей меньше 6. Тогда в третьей и четвёртой кучках вместе меньше 7+6=13 конфет, что противоречит условию. Значит, в первой кучке 8 конфет, в четвертой - 7, а в третьей - 6.)

3. Однажды чёрт предложил бездельнику заработать. «Как только ты перейдешь через этот мост, - сказал он, - твои деньги удвоятся. Можешь переходить по нему сколько хочешь раз, но после каждого перехода отдавай мне за это 40 рублей». Бездельник согласился. После третьего перехода он расплатился с чертом и ... обнаружил, что деньги у него на этом закончились. Сколько денег у него было сначала?

Ответ: 35 рублей (Так как после третьего перехода у бездельника денег не осталось, то после перехода моста в третий раз у него было 40 рублей, а до третьего перехода моста половина от этого – 20 рублей. Тогда после второго перехода моста у бездельника было 20 + 40 = 60 рублей, а до второго перехода моста половина этой суммы – 30 рублей. Рассуждая аналогично, получим, что после первого перехода моста у бездельника стало 30 + 40 = 70 рублей, а перед первым переходом моста в два раза меньше – 35 рублей. Таким образом, у бездельника сначала было 35 рублей.)

4. МатеМаша придумала новый способ шифровки: заменять каждую букву ее порядковым номером в русском алфавите. Она поделилась своей выдумкой с подругой и написала ей такую записку: “1718103620, 1212033!” Как расшифровывается это послание?

Ответ: «Привет, Катя!» (Сначала расшифруем последовательность цифр 1718103620. Для этого ее нужно разбить на однозначные и двузначные числа, чтобы соответствующая последовательность букв образовывала слово. Буквы под номером 0 нет, значит, последняя буква слова имеет порядковый номер 20 – это «т». Буквы под номером 36 также не существует, значит, предпоследняя буква имеет номер 6, это «е». Аналогично предыдущие буквы 3 и 10, это «в» и «и». Остались цифры 1718, а слово заканчивается на «…ивет». Здесь возможны комбинации 1, 7, 1, 8, или 17, 1, 8, или 1, 7, 18, или 17, 18 (буквы с номером 71 нет). Этим комбинациям соответствуют сочетания «аёаж», «паж», «аёр» и «пр». Единственное существующее слово, которое мы можем получить, это «привет». Теперь нужно проделать ту же операцию со второй последовательностью 1212033. Две ее последние цифры 3 и 3, но на "вв" не может кончаться слово, и числа 03 не может быть. Значит, последняя буква имеет номер 33, это буква "я". А предпоследняя буква имеет номер 20, это «т». На оставшиеся буквы осталось сочетание 121, т.е. либо 1, 2, 1, либо 1, 21, либо 12, 1. Этому соответствуют наборы букв "аба", "ау" и "ка". Отсюда видно, что это имя «Катя». Так мы расшифровали записку, получилось «Привет, Катя!»)

5. МатеМаша и ПрограМиша каждый в своей тетради выписали в строчку без повторений цифры 0, 1, 2, …, 9. Они выписывали цифры в таком порядке, что из любых трёх подряд идущих цифр сумма каких-то двух равнялась 7. Оказалось, что первая цифра в последовательности цифр у МатеМаши и первая цифра в последовательности у ПрограМиши разные. Какие цифры первые в последовательностях МатеМаши и ПрограМиши?

Замечание: В ответе требуется указать только цифры. Началом чьей последовательности они являются, указывать не надо.

Ответ: 8 и 9 (Предположим, что и справа, и слева от цифры 9 есть какие-то цифры. Поскольку 9 ни с какой цифрой в сумме не даст 7, то сумма ее соседок должна быть равна 7. Это могут быть такие пары: 7=0+7=1+6=2+5=3+4. Допустим, что по бокам от 9 стоят 0 и 7. Например, так: 097. Но тогда перед 0 может стоять только 7 (иначе в тройке из этой цифры, 0 и 9 не получится пары цифр с суммой 7), а 7 здесь стоять не может, она уже стоит после 9. Аналогично, после 7 мог бы стоять только 0, но он уже занят. Получается, что цепочка не может продолжаться ни в ту, ни в другую сторону. (Если по бокам от 9 стоит другая пара, например, 1 и 6, то точно также выясним, что далее за этими цифрами больше ничего не может быть.) Таким образом получаем, что 9 может стоять только на краю (первой либо последней). Аналогично доказывается, что и цифра 8 может стоять только на краю. Значит, строчка, удовлетворяющая условию задачи, должна начинаться с 8 и заканчиваться 9, или наоборот, начинаться с 9 и заканчиваться 8. Поскольку у МатеМаши и ПрограМиши первые цифры были разными, значит, у кого-то из них это была 8, а у другого 9. Приведём пример последовательностей, которые могли выписать ПрограМиша и МатеМаша: 9071625348 и 8071625349.)