Серия 3.5, 1 класс

1. Алёша, Боря, Вера, Гриша и Даша собирали грибы в лесу. Один из них собрал 1 килограмм грибов, другой – 2 килограмма, а остальные – 3, 4 и 5 килограммов. Вера собрала меньше всех. Даша собрала столько же, сколько Алёша и Гриша вместе. Сколько килограммов грибов собрал Боря?

Ответ: 4 (Вера собрала меньше всех, значит, она собрала 1 килограмм грибов. Даша не могла собрать 2, 3 или 4 килограмма грибов, так как никакие два числа из 2, 3, 4, 5 не дадут в сумме 2, 3 или 4. Значит , Даша собрала 5 килограммов грибов (2+3=5). Гриша и Алёша собрали 2 килограмма и 3 килограмма, причем неизвестно кто из них собрал сколько. Итак, Боря собрал 4 килограмма грибов.)

2. В автобусе имеются одноместные и двухместные сидения. Кондуктор заметил, что когда в автобусе сидело 13 человек, то 9 сидений были полностью свободными, а когда сидело 10 человек, то свободными были 6 сидений. Сколько сидений в автобусе?

Ответ: 16 (В первом случае наименьшее количество занятых сидений равно 7,а наибольшее - 13. Тогда наименьшее возможное число сидений в первом случае 7+9=16, а наибольшее – 13+9=22. Во втором случае наименьшее количество занятых сидений равно 5, а наибольшее -10. Тогда наименьшее возможное число сидений во втором случае 5+6=11, а наибольшее – 10+6=16. Таким образом, единственным возможным значением для количества мест в автобусе является 16. Приведём пример, когда в автобусе 16 мест и выполняются условия задачи: 1-7 двухместные, 8-16 одноместные. В первом случае 13 человек сидят на сиденьях 1-7, а сиденья 8-16 свободны. Во втором случае 10 человек сидят на сиденьях 7-16, а сиденья 1-6 свободны.)

3. Двум учительницам надо проверить 47 тетрадей. Первая учительница проверяет за час 8 тетрадей, а вторая 6 тетрадей за полчаса. Сколько тетрадей им останется проверить через 2 часа совместной работы?

Ответ: 7 (Вторая учительница проверяет 6+6=12 тетрадей за час. Вместе две учительницы проверяют 12+8=20 тетрадей за час. За два часа они проверят 20+20=40 тетрадей. Значит, им останется проверить 47-40=7 тетрадей.)

4. На маленьком острове живут лжецы и рыцари, всего 21 человек. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Каждый житель острова заявил: "Среди оставшихся жителей острова более половины - лжецы". Сколько лжецов на острове

Ответ: 11 (Все жители острова не могут быть лжецами, иначе каждый из них сказал бы правду. Возьмем какого-нибудь одного рыцаря. Из его заявления вытекает, что лжецов на острове больше, чем половина от остальных 20 островитян, то есть чем 10. Значит, лжецов на острове не менее 11. Возьмем теперь какого-нибудь одного лжеца. Его заявление ложно, поэтому среди остальных островитян не более половины - лжецы. Это означает, что кроме него на острове не более 10 лжецов, то есть вместе с ним лжецов не более 11. Таким образом, получается, что единственная возможность - когда на острове ровно 11 лжецов.)

5. В гости пришло 10 гостей и каждый оставил в коридоре пару калош. Все пары калош имеют разные размеры. Гости начали расходиться по одному, одевая любую пару калош, в которые они могли влезть (т.е. каждый гость мог надеть пару калош, не меньшую, чем его собственные). В какой-то момент обнаружилось, что ни один из оставшихся гостей не может найти себе пару калош, чтобы уйти. Какое максимальное число гостей могло остаться?

Ответ: 5 (Пронумеруем гостей и их пары калош числами от 1 до 10 в порядке возрастания размера калош. Предположим, что осталось 6 гостей (и, соответственно, 6 пар калош). То есть 6 гостей не смогли подобрать себе подходящие калоши. Тогда наименьший номер оставшегося гостя не больше, чем 5-ый. Действительно, иначе осталось бы не 6 гостей, а максимум 5 гостей: 6-ой, 7-ой, 8-ой, 9-ый и 10-й. А наибольший номер оставшихся пар калош не меньше 6 (иначе осталось бы максимум пять пар калош). Поэтому гость с наименьшим номером (этот номер не больше 5-го) сможет надеть калоши с наибольшим номером (этот номер не меньше 6-го). И тогда этот гость смог бы уйти. Значит, 6 и более гостей остаться не могло. С другой стороны, если последовательно уходили гости с номерами 1, 2, 3, 4, 5, и надевали соответственно калоши с номерами 10, 9, 8, 7, 6, то ни один из оставшихся пяти гостей не сможет надеть ни одну пару оставшихся калош. Значит, максимум могло остаться 5 гостей.)