8. Радиусы орбит и скорости движения электронов по орбитам

Запишем силы, действующие на электрон, вращающийся по орбите радиуса r в атоме водорода. Заряженный отрицательно электрон (—e) взаимодействует с положительно заряженным ядром +Ze. Других взаимодействий нет, следовательно, больше нет и сил. Единственная сила F вызвана кулоновским притяжением электрона к ядру и равна:

С другой стороны, эту силу можно рассмотреть как центростремительную (она удерживает вращающийся электрон на орбите) и записать ее в виде: F = mv²/r.

Очевидно

Добавляя третий постулат Бора, имеем систему уравнений.

mv²r=Zke²

mvr =n

Откуда следует, что скорость электрона на орбите

обратно пропорциональна номеру орбиты п.

На первой орбите атома водорода (n=1; Z=l) скорость равна ≈ 2,2·10⁶ м/с, то есть примерно в сотню раз меньше скорости света с=3·10⁸ м/с. Подставляя выражение для скорости в третий постулат, имеем

Таким образом, радиусы орбит растут пропорционально квадрату номера орбит. Для первой орбиты атома водорода

Å

Вопросы:

1. Каков размер атома водорода, если электрон находится на третьей орбите?

2. Какова скорость электрона на третьей орбите?

9. Энергия электрона на орбитах

Энергия электрона на орбите складывается из его кинетической и потенциальной энергий. Используя выражения для r и v, полученные в предыдущем разделе, легко получить, что полная энергия электрона равна

Таким образом, полная энергия электрона в атоме водорода обратно пропорциональна радиусу орбиты (рис. 33).

Рис. 33. Зависимость энергии электрона в атоме водорода

от радиуса орбит

На рис. 34 показаны переходы электрона, отвечающие некоторым сериям, в атоме водорода.

Рис. 34. Переходы электрона в атоме водорода

Задание: получите выражение для постоянной Ридберга через мировые константы.

10. Волны де-Бройля и третий постулат Бора

Рассмотрим третий, наиболее загадочный, постулат Бора

mvr=n·h/2π

Запишем его в виде

Слева стоит длина окружности стационарной орбиты.

Очевидно, что величина также имеет размерность длины.

Назовем λ_Б — длиной волны де-Бройля для электрона. Тогда третий постулат можно сформулировать таким образом: на стационарной орбите должно укладываться целое число длин волн де-Бройля для электронов.

Оказывается, что во многих случаях электроны ведут себя как волны с длиной волны λ_Б. В частности, электроны способны к интерференции, то есть к взаимному усилению и ослаблению, к дифракции, то есть к огибанию препятствий и т. д. Не следует, однако, думать, что при интерференции электроны действительно взаимно уничтожают друг друга. Картина интерференции представляет собой перераспределение интенсивности, то есть числа электронов. В одних местах их становится больше (как если бы они усиливали друг друга), в других — меньше.

Такими волновыми свойствами обладают не только электроны, но и все другие тела — атомы, молекулы и т. д. Однако масса обычных тел слишком велика, и величина λ_Б оказывается слишком малой, чтобы мы ощутили их волновые свойства.

Поскольку волновые свойства всегда связаны с колебаниями (звук — это колебание молекул среды, свет — колебание электрического и магнитного полей и т. д.), то естественно задаться вопросом — что колеблется в волне де-Бройля? Современная наука отвечает на это так: в волне де-Бройля ничего не колеблется, поскольку это — волны вероятности, показывающие, в каких местах пространства нахождение электрона (или другого объекта) предпочтительнее и наиболее вероятно. Представление о вращении электронов по орбитам в атоме — это лишь упрощенная картина действительного положения вещей. Более правильно рассматривать «облако вероятности» нахождения электрона, которое локализовано вблизи этих орбит.