§ 1.1 Вариация и ее свойства.

Методы решения вариационных задач, т. е. задач на исследование функционалов на максимум и минимум, весьма сходны с методами исследования на максимум и минимум функций. Поэтому целесообразно напомнить кратко теорию максимума и минимума функций и параллельно ввести аналогичные понятия и доказать сходные теоремы для функционалов.

1. Переменная величина z называется функцией переменной величины х, что обозначается так: , если каждому значению х из некоторой области изменения х соответствует значение z, т. е. имеет место соответствие: числу х соответствует число z. Аналогично определяются и функции нескольких переменных.	1. Переменная величина v называется функционалом, завися- зависящим от функции , что обозначается так: , если каждой функции из некоторого класса функций соответствует значение , т. е. имеет место соответствие: функции соответствует число . Аналогично определяются и функционалы, зависящие от нескольких функций, и функционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных.
2. Приращением аргумента х функции называется разность между двумя значениями этой переменной . Если х — независимое переменное, то дифференциал х совпадает с приращением .	2. Приращением или вариацией аргумента функционала называется разность между двумя функциями . При этом предполагается, что меняется произвольно в некотором классе функций.
3. Функция непрерывной, если малому изменению х соответствует малое изменение функции .	3. Функционал называется непрерывным, если малому изменению соответствует малое изменение функционала .

Последнее определение нуждается в уточнении и разъяснении, так как сейчас же возникает вопрос, какие изменения функции , являющейся аргументом функционала, называются малыми или, что то же самое, какие кривые и считаются мало отличающимися или близкими.

Можно считать близкими функции и в том случае, если модуль их разности мал для всех значений х, для которых задаются функции и , т. е. считать близкими кривые, близкие по ординатам.

Однако при таком определении близости кривых часто встречающиеся в приложениях функционалы вида

из-за наличия в подынтегральной функции аргумента у' лишь в исключительных случаях будут непрерывными. Поэтому во многих случаях более естественно считать близкими только те кривые, которые близки по ординатам и по направлениям касательных в соответствующих точках, т. е. требовать, чтобы для близких кривых не только модуль разности был бы мал, но, кроме того, был бы мал и модуль разности .

Иногда же оказывается необходимым считать близкими только те функции, для которых малы модули каждой из разностей:

, ,…,

В связи с этим приходится ввести следующие определения близости кривых и .

Кривые и близки в смысле близости нулевого порядка, если модуль разности мал.

Кривые и близки в смысле близости первого порядка, если модули разностей и малы.

Кривые и близки в смысле близости к-го порядка, если модули разностей

, ,…,

малы.

Н а рис. 6.1 изображены кривые, близкие в смысле близости нулевого порядка, но не близкие в смысле близости первого порядка, так как ординаты у них близки, а направления касательных не близки. На рис. 6.2 изображены кривые, близкие в смысле близости первого

порядка.

Из этих определений следует, что если кривые близки в смысле близости к-го порядка, то они тем более близки в смысле близости любого меньшего порядка.

Теперь мы можем уточнить понятие непрерывности функционала.

3`.Функция непрерывна при , если для любого положительного можно подобрать такое, что , при . При этом подразумевается, что х принимает значения, в которых функция определена.

3`.Функционал непрерывен при в смысле близости к-го порядка, если для любого положительного можно подобрать такое, что , при …. При этом подразумевается, что функция берется из класса функций, на котором функционал определен.

4. Линейной функцией называется функция , удовлетворяющая следующим условиям: Линейная функция одной переменной имеет вид:	4. Линейным функционалом называется функционал , удовлетворяющая следующим условиям: Примером линейного функционала является:
5. Если приращение функции можно представить в виде где не зависит от , а , при , то функция называется дифференцируемой, а линейная по отношению к часть приращения называется дифференциалом функции и обозначается	5. Если приращение функционала можно представить в виде где - линейны по отношению к функционал, а - максимальное значение и , при , то линейная по отношению к часть приращения функционала, т.е. , называется вариацией функционала и обозначается

Итак, вариация функционала — это главная, линейная по отношению к , часть приращения функционала.

При исследовании функционалов вариация играет такую же роль, какую играет дифференциал при исследовании функций.

Можно дать и другое, почти эквивалентное, определение дифференциала функции и вариации функционала. Рассмотрим значение функции при фиксированном х и и изменяющихся значениях параметра . При получим приращенное значение функции , при получим исходное значение функции . Нетрудно проверить, что производная от по при равна дифференциалу функции в точке . Действительно, по правилу дифференцирования сложной функции

Точно так же для функции нескольких переменных.

И для функционалов вида или более сложных, зависящих от нескольких неизвестных функций или от функций нескольких переменных, можно определить вариацию как производную от функционала по при .

Итак, если существует вариация в смысле главной линейной части приращения функционала, то существует и вариация в смысле производной по параметру при начальном значении параметра, и оба эти определения эквивалентны.

Второе определение вариации несколько шире первого, так как существуют примеры функционалов, из приращения которых нельзя выделить главной линейной части, но вариация в смысле второго определения существует.

6. Дифференциал функции равен

6. Вариация функционала равна

Определение. Функционал достигает на кривой максимума, если значения функционала на любой близкой к кривой не больше, чем , то есть .

Если , причем только при , то говорят, что на кривой достигается строгий максимум. Аналогично определяется кривая , на которой реализуется минимум. В этом случае для всех кривых, близких к кривой .

7. Теорема. Если дифференцируемая функция достигает максимума или минимума во внутренней точке области определения функции, то в этой точке

7. Теорема. Если функционал , имеющий вариацию, достигает максимума или минимума при , где - внутренняя точка области определения функционала, то при ,

Итак, на кривых, на которых достигается экстремум функционала, его вариация равна нулю.

Понятие экстремума функционала нуждается в уточнении. Говоря о максимуме или минимуме, точнее, об относительном максимуме или минимуме, мы имели в виду наибольшее или наименьшее значение функционала только по отношению к значениям функционала на близких кривых. Но, как было указано выше, близость кривых может быть понимаема различно, поэтому в определении максимума или минимума надо указывать, какого порядка близость имеется в виду.

Если функционал достигает на кривой максимума или минимума по отношению ко всем кривым, для которых модуль разности мал, т. е. по отношению к кривым, близким к в смысле близости нулевого порядка, то максимум или минимум называется сильным.

Если же функционал достигает на кривой максимума или минимума лишь по отношению к кривым , близким к в смысле близости первого порядка, т. е. по отношению к кривым, близким к не только по ординатам, но и по направлениям касательных, то максимум или минимум называется слабым.

Очевидно, что если на кривой достигается сильный максимум (или минимум), то подавно достигается и слабый, так как если кривая близка к в смысле близости первого порядка, то она близка и в смысле близости нулевого порядка. Однако возможно, что на кривой достигается слабый максимум (минимум) и в то же время не достигается сильный максимум (минимум), т. е. среди кривых , близких к как по ординатам, так и по направлению касательных, может не быть таких, для которых (в случае минимума ), а среди кривых , близких только по ординатам, но уже не близких по направлению касательных, могут найтись и такие, для которых (в случае минимума ).

Заметим еще, что если на кривой достигается экстремум, то не только , но и , где — любое семейство допустимых кривых, причем при и при функция должна соответственно превращаться в и . Действительно, является функцией , так как задание определяет кривую семейства , а значит, определяет и значение функционала .

Эта функция, по предположению, достигает экстремума при , следовательно, производная этой функции обращается в нуль при .

Итак, , однако эта производная, вообще говоря, уже не будет совпадать с вариацией функционала, но будет, как показано выше, обращаться в нуль одновременно с на кривых, реализующих экстремум функционала.

Все определения этого параграфа и основная теорема почти без всякого изменения переносятся на функционалы, зависящие от нескольких неизвестных функций

или зависящие от одной или нескольких функций многих переменных

,

Например, вариация функционала , может быть определена или как главная линейная по отношению к часть приращения

,

или как производная по параметру при начальном значении параметра

причем если при функционал достигает экстремума, то при вариация , так как является функцией , которая при , по предположению, достигает экстремума и, следовательно, производная от этой функции по при обращается в нуль, или .