§24 Операторы рождения и уничтожения частиц.
Действие операторов
и
на
.
Запишем в качестве операторов
операторы
и
.
Напомним:
(*)
Чтобы использовать соотношение (*) надо знать матричные элементы для операторов и :
мы их получили раньше.
Транспонируя, получаем:
Используя, что
,
тогда
,
тогда
Используя соотношение
,
тогда получим результаты действия на
Чем отличается вектор
от
,
они отличаются только одним числом
заполнения в
состоянии a, а остальные состояния заполнены одинаково. В одночастичном состоянии с
номером “а” в результате действия оператора появилась еще одна частица. Тогда
-оператор рождения частицы в одночастичном a-том состоянии.
Посмотрим
- получили новое состояние.
Из вектора чисел заполнения
в результате действия оператора
переходим в
состояние с вектором чисел заполненные
.
В состоянии b число заполнения
лишается единицы, т. е. в b-том состоянии уничтожается 1 частица. - оператор
уничтожения частицы в b-том одночастичном состоянии.
Связь между
и операторами
и
.
Мы имели матричный элемент одночастичного оператора:
Это матричный элемент произведения
двух операторов:
,
Тогда оператор запишем:
(3)
Напомним, что
- одночастичный оператор:
матричный элемент
и
-
одночастичные функции
-
это сумма
,
а
-
это матричный элемент одного из слагаемых
этой суммы
Поэтому запись (3 стр 28а) – удобна.
с) Свойства операторов рождения и
уничтожения:
и
.
Можно рассмотреть следующие (дополнительные) свойства помимо тех свойств, что указаны в (а).
Д/з №9. Используя матричные элементы
для операторов рождения и уничтожения
получить результат коммутации операторов:
(4)
Распишем коммутатор:
Подействуем коммутатором на
,
тогда получим результат (4).
-
здесь всего n частиц,
но произошёл переход частицы из состояния
a в состояние b.
Посмотрим:
.
Тогда результат действия операторов
и
дают одинаковый результат.
Тогда при
имеем
.
Посмотрим случай
:
Аналогично проделываем для
Тогда
.
Тогда выполняется:
, или можно записать
.
§25 Схема Юнга квантовой механики.
Мы рассматривали систему двух электронов. Волновая функция системы двух электронов была:
.
Т. е. в гамильтониане не учтен спин и мы можем разделить переменные.
Возможно два варианта:
1.
и
,
2.
и
.
Тогда, мы учитывая принцип тождественности, неявно учитывали спин в теории.
Распространим этот принцип на систему с большим числом электронов.
Так как у
электрона два значения спина
,
то вводится схема Юнга.
Обозначения:
По горизонтали проводят симметризацию, а по вертикали антисимметризацию.
Будем обозначать цифрами координаты. Пусть есть 3 частицы, тогда:
.
Подействуем операторами перестановки:
. (*)
Теперь рассмотрим
, (**)
В результате получаем, что разность (*) и (**) не равна нулю
.
Это значит, что соответствующие величины одновременно не измеримы, у них нет общего базиса и они не могут быть вместе приведены к диагональному виду. То, что у этих операторов различные базисы, т. е. различные собственные функции и показывает, что симметризация не может быть такой простой, как для двух электронов. Задача симметризации относится уже к теории групп.
Вообще говоря,
- антисимметричная, т. к. мы рассматриваем
фермионы.
Тогда, имеем:
:
соответствует
:
соответствует
:
Здесь координаты не ставят, т. к. рассматривают перестановки по всем координатам, а потом выбирают независимые. Т. е. рассматривают просто схемы симметризации.
Суммарному
спину
соответствует рисунок
и : ,
а суммарному
спину
соответствует
: соответствует :
При большем числе электронов картина становится следующей:
|
|
Спин |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
0 |
Мы можем
установить взаимоодназначное соответствие
между картинкой симметрии и спином
.
Хотя спин в оператор
не входит, мы его вводим через принцип
тождественности.