§23 Оператор f в - представлении.
Действие оператора
на функцию
,
в
-
и
-представлениях.
Запишем формулы:
,
оператор
действуя на
переводит ее в функцию
.
Функцию
можно разложить по базису функций
:
(*)-- суммирование по числам заполнения
одночастичных состояний.
Коэффициенты
разложения представляют собой матричные
элементы:
- числа заполнения в одночастичном
состоянии.
Это было в - представлении.
Посмотрим
действие
в
-представлении.
Разложим по базису:
эта матрица есть оператор в -представлении.
Разложение функции по одночастичным состояниям
.
- описывает весь ансамбль частиц
- функция одночастичного состояния.
Напомним, что
и
.
Для одночастичной функции писали уравнение: ,
функции
- образуют базис, по ним можно разложить
функцию одной переменной. Но функция
N-переменных. Размножим ее по базису в
интеграл:
- вообще эти коэффициенты есть функция
оставшихся от аргументов, а именно - это есть матричные элементы:
(1) – интегрирование и суммирование по
одной переменной
(интегрирование по
и суммирование по
),
при интегрировании и суммировании i-тая
координата
выходит. Приведем интеграл (1 стр. 23б) к
более простому виду, для этого вспомним,
что:
(2)
Оператор перестановки
Вспомним условие
нормировки дл одночастичных функций:
;
i – индекс указывает переменную, по которой идет интегрирование.
В формуле (2)
имеется одна функция
т.е. из
надо
выделить функцию
,
которая соответствует
из 1 стр. 23б лекции:
).
Модифицируем :
В сумму условия
нормировки, беря интеграл (1 стр 23 б
лекции):
)
получим множитель
,
и еще останется некоторая функция от
оставшихся от интегрирования переменных,
а именно:
эта часть содержит N-1
частицу, уже просматривается
волновая функция,
описывающая N-1 частицу.
Обозначение:
- означает, что здесь не хватает 1-частицы
в a-том состоянии,
а именно:
, тогда как было
тогда имеем,
положив
,
чтобы
,
Запись
означает, что в наборе
нет переменной
,
т.к. она стоит после “;”.
Запишем с учетом полученного:
- суммирование по всем одночастичным
состояниям, состояния от индекса i не
зависят , поэтому ai
писать нехорошо, и i убирают
к функции.
Матричный элемент одночастичного оператора:
,
- оператор действующий на переменные
i-той частицы:
.
Запишем этот матричный элемент в форме скалярного произведения:
т.к. функции симметричны по перестановке частиц, а оператор не зависит от i-той частицы, то получаем умножение на число частиц N и берем любую i из N
сюда надо поставить
в виде (2 )
произойдет разделение переменных, i-тая переменная выделится, а остальные переменные останутся вместе.
Пусть (3)
(4)
a и b – это наборы одночастичных состояний (5)
и
- это наборы чисел заполнения.
Сократить
Оставшееся
интегрирование есть скалярное
произведение:
- здесь у функций убрали индекс (i),
т.к. в скалярном произведении стоят
симметричные функции, и индекс (i) можно
не указывать. Тогда, запишем матричный
элемент:
.
Мы имели условие ортонормы.
________
,
чтобы это скалярное произведение было
не ноль, требуется чтобы соответствующие
числа заполнения совпадали:
т.е. нужно,
чтобы:
Тогда
В этом случае имеем для чисел заполнения:
введем число
nc, когда c≠a,b,
для этого числа имеется равенство
а для состояний a и b
имеются равенства:
тогда
имеем матричный элемент
в виде:
Матричные элементы
Рассмотрим матричный элемент такого вида:
(6)
Теперь рассмотрим матричный элемент, транспонированный:
(7)
Теперь рассмотрим матричный элемент комплексно сопряженный и транспонированный и с индексом a:
В (7)
в силу вещественности этих матричных
элементов.
Тогда имеем
Можем упростить
выражение для
(см стр. 26 б
),
для этого вспомним произведение матриц:
,
т.е.
Тогда имеем
,
т.е. мы имеем:
