Правило знаков
Поперечная сила в сечении балки mn считается положительной, если
равнодействующая внешних сил слева от сечения направлена снизу вверх, а справа- сверху вниз(а), и отрицательной в противоположном случае (б)
Qmn>0
F F Qmn<0
m
m
+ -
F n n F
а) б)
Изгибающий момент в сечении балки mn, считается положительным, если равнодействующий момент внешних сил слева от сечения направлен по часовой стрелке, а справа - против часовой стрелки (а), и отрицательным – в противоположном случае (б). При сжатии верхних волокон и растяжении нижних волокон балки моменты положительные, при сжатии нижних волокон и растяжении верхних волокон моменты отрицательные.
М Mmn>0 M M Mmn<0 M
m
m
+
n
n -
а) б)
Порядок построения эпюр q и mи
Определяем опорные реакции.
Разбиваем балку на участки, границами которых являются начало, конец балки, точки приложения сосредоточенных сил, начало и конец равномерно распределенной нагрузки, пары сил.
Составляем уравнения для поперечных сил каждого участка,пользуясь вышеуказанным правилом.
Если поперечная сила плавно изменяясь проходит через нулевое значение, то необходимо определить абсциссу этого сечения, где Q обращается в «0».
Применяя метод сечений, записываем уравнение изгибающего момента для каждого участка. Вычисляем значение изгибающего момента в характерных точках, учитывая и точку, где Q=0.
По данным значениям строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
Порядок контроля построеных эпюр.
Если участок не загружен равномерно распределенной нагрузкой, то поперечная сила постоянна, а изгибающий момент изменяется по линейному закону.
Если на данном участке поперечная сила равна «0», то изгибающий момент постоянный.
На участках, загруженных равномерно распределенной нагрузкой, Q изменяется по линейному закону, а Ми по параболе, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке.
В точках приложения сосредоточенных сил на эпюре Q имеют место скачки, равные величинам приложенных внешних сил, а на эпюре изгибающих моментов – переломы, направленные навстречу силам.
В точке приложения пар сил на эпюре Ми – скачки, равные по величине приложенной паре сил.
В точках, где поперечная сила обращается в «0», Ми принимает экстремальные значения (max, min)/
Если рассматривать эпюры слева направо и на данном участке Q>0, то изгибающий момент будет возрастать, если Q<0, Ми будет убывать.
Дифференциальная зависимость между Ми ,Q и q
;
Пример построения эпюр
Задача 1
z1=0
→ M=0; z1=3
→M=-15кН
Z2=3→M=-16кНм
Z2=7→M=-8кНм
;
3≤z≤7
I II
Z1 F2=7кН
Z2
3м 4м
2
┼ Q
▬ -5
▬ ▬ -8 M и
-15
Задача 2
Определяем опорные реакции RA
и RB
z1=0→M=0;
z1=1→M=RA·1=11кНм
1≤z2≤2,5
Z2=1→M=11·1=11кНм
Z2=2,5→M=11·2,5=9,5кНм
2,5≤z3≤4
Z3=2,5→M=11·2,5-12·1,5=1,5кНм
Z3=4
→M=11·4-12·3-8=0
;
;
;
0≤z1≤1
;
RA F=12кН М=8кНм RB
I II III
Z1 Z2
Z3
1м
1,5м
1,5м
11
┼
▬ Q
1
11
9,5
┼ ┼
1,5
┼ Mи
Задача 3
1≤z2≤4
z2=1→
z2=4→
Определяем абсциссу пересечения линии
Q с нулевой линией
0≤z1≤1
z1=0→M=0;
z1=1→M=20(кН)
1≤z2≤4
z2=2,5→M=45кНм
;
20+8=8z2;
z2=3,5м.
→M=20кНм;
z2=4→M=44кНм
z1 z2
Z3
F=20кН
1м 3м 1м
3,5м
20
┼ ┼
Q
45
4
44
┼ 40
MИ
4≤z3≤5; z3=4→M=44кНм; z3=5→M=40кНм
У
словия
прочности при изгибе
Гипотезы Бернулли:
Сечения плоские
и перпендикулярные оси бруса до изгиба,
остаются плоскими и перпендикулярными
оси бруса после изгиба.
Гипотеза о
ненадавливании волокон друг на друга.
Гипотеза о
линейности деформаций каждого волокна.
Напряжения во
всех волокнах, расположенных на одной
высоте одинаковы.
О О1
М М
О О1
σ1
σ2
σ3
σ4
δ – радиус кривизны нейтральной оси.
y – расстояние
до волокна от нейтральной оси
σ – эпюра распределения напряжений
по вышине сечения стержня.
σ
θ
δ
O
О О1
A A1
y
С
амыми
рациональными сечениями при изгибе
являются двутавр и швеллер
Y σ – перпендикулярно площадке
σ
dA
y х
здесь
и
,
здесь WX
– осевой момент сопротивления сечения
(см3,
мм3)
На условие прочности при изгибе решаются задачи:
1.Проверочный расчет на максимальное напряжение
2.Проектный расчет
3.Определение максимально допустимой нагрузки
Y
Определение WX
для
прямоугольника
h
x
b
Определение WX для круга
Y
d
;
;
