1. Структура курсовой работы

Курсовая работа состоит из двух частей. При выполнении первой части курсовой работы по заданным экспериментальным данным необходимо:

1. провести корреляционный анализ и установить наличие линейной связи между экспериментальными данными (исходные данные 1);

2. исследовать наличие линейной связи между двумя физическими свойствами (исходные данные 2);

3. выполнить линейный регрессионный анализ и определить коэффициенты регрессии с оценкой значимости коэффициентов и доверительных интервалов, а также определить адекватность полученной модели (исходные данные 1);

4. используя методы аппроксимации, подобрать эмпирические формулы и вычислить их коэффициенты; (исходные данные 1), оценить погрешность по величине суммы квадратов отклонений;

5. сравнить результаты, полученные методами регрессионного анализа и аппроксимации.

При выполнении второй части курсовой работы по табличным экспериментальным данным (исходные данные 2) необходимо:

1. используя метод параболической интерполяции, определить требуемую степень полинома, его коэффициенты и значения параметров в указанных неузловых точках;

2. аналогичные расчеты выполнить с использованием формулы Лагранжа;

3. с помощью интерполяционных формул Ньютона найти значения параметров в указанных неузловых точках;

4. проанализировать результаты, полученные различными методами;

5. по заданному значению функции определить соответствующее значение аргумента, используя метод обратной интерполяции.

Курсовая работа оформляется в виде пояснительной записки, которая должна включать следующее: титульный лист; задание на курсовое проектирование; реферат; содержание; введение; основную часть; заключение; список использованной литературы; приложения (при необходимости).

В тексте основной части, разбиваемой на разделы и подразделы, приводятся краткая характеристика используемых методов, алгоритмы расчетов, блок-схемы, тексты разработанных или описание используемых прикладных программ, исходные данные, результаты расчетов и анализ полученных данных.

Введение должно содержать обоснование проблемы, которой посвящена курсовая работа. В заключении необходимо подчеркнуть все, что было сделано при выполнении курсовой работы, и оценить степень выполнения задания на проектирование.

Ориентировочный объем пояснительной записки — 20–25 листов рукописного текста или 10-15 листов машинописного текста через 1,5 интервала.

2. Корреляционный анализ

2.1. Теоретические сведения

Под корреляцией понимается всякая связь между двумя или несколькими исследуемыми явлениями. Она может быть детерминистической или случайной (вероятностной). Первый тип связи определяется строгими закономерностями, обычно описываемыми физико-химическими формулами. Так закон Ома в его тривиальной форме определяет жесткую связь между разностью потенциалов, силой тока и электрическим сопротивлением. Второй тип связи только предполагается, т. к. отсутствуют теоретические предпосылки, свидетельствующие о наличие такой связи.

При корреляционном анализе проверяется лишь сам факт связи, т. е. статистическая гипотеза об отсутствии (или наличии) связи. Сама природа величин, между которыми такая случайная связь предполагается, позволяет судить о ней как о вероятностной. Результат корреляционного анализа также носит статистический характер, так как заключение о наличии или отсутствии связи принимается с некоторой наперед заданной доверительной вероятностью.

Примером задачи корреляционного анализа может служить исследование влияния температурного режима на выход какого-либо химического продукта в сложном технологическом процессе. При этом с увеличением температуры возможно не только повышение скорости исследуемой реакции, но и протекание побочных реакций, а также и обратная реакция разложения продукта. Поэтому связь между температурой и выходом можно охарактеризовать как случайную.

Обычно при корреляционном анализе исследуются только линейные связи между величинами, а статистические критерии свидетельствуют о наличии или отсутствии предполагаемой линейной связи. Поэтому отрицательный ответ при проверке гипотезы о корреляции может означать не только отсутствие связи, но и возможное наличие нелинейной зависимости между исследуемыми величинами.

Для количественной оценки линейной корреляции пользуются выборочным коэффициентом парной корреляции r_xy - безразмерной величиной к значениям средних квадратических отклонений исследуемых величин:

rxy =[n.Σxiyi - ΣxiΣyi] / ,

(2.1)

где Σ =

Коэффициент корреляции по абсолютной величине не превосходит единицы ( ) и может принимать следующие значения:

1. r _{x y} = 0, этот случай соответствует отсутствию связи между x и y ( рис. 1,а );

2. r _{x y} = +1, между x и y существует строгая положительная линейная связь (рис.1,б );

3. r _{x y} = -1, между x и y существует строгая отрицательная связь ( рис. 1,в ) ;

4. - 1 < r _{x y} < +1; это наиболее часто встречающийся случай, и здесь о корреляции судят уже лишь с точки зрения большей или меньшей вероятности.

Величина коэффициента корреляции служит для оценки тесноты только линейной связи между величинами Х и Y: чем ближе абсолютная величина коэффициента к 1, тем связь сильнее; чем ближе к нулю, тем связь слабее. Если случайные величины Х и Y связаны точной линейной функциональной зависимостью

,

(2.2)

то r_XY = (знак «+» или «–» берётся в зависимости от того, а>0 или a<0 ).

Рис.1. Корреляционная зависимость между случайными величинами X и Y

Зависимость коэффициента корреляции проверяется путем сравнения абсолютной величины эмпирического коэффициента корреляции, умноженной на , с его критическими значениями при заданной степени надежности вывода (уровня доверительности) Р. Критические значения произведения r =H при числе измерений n до 10 для различных значений надежности вывода составляют: при Р = 0.9 H = 1.65; при Р = 0.95 H = 1.90; при Р = 0.99 H = 2.29.

Если для эмпирического коэффициента корреляции r произведение H=r окажется больше критического значения H, то с надежностью вывода Р следует отвергнуть гипотезу о некоррелированности рассматриваемых величин.

При инженерных расчетах уровень доверительности Р = 0.95 обычно считается достаточным.

Пример 2.1. Установить зависимость давления насыщенного пара бензола от температуры по экспериментальными данными (табл. 2.1)

Таблица 2.1

Давление насыщенного пара бензола при разных температурах

T, K	270.5	280.8	288.6	299.2	315.4	333.8	353.2
P10-5, Па	0.0267	0.0533	0.080	0.1333	0.2667	0.5333	1.0133

Для определения коэффициента корреляции проводятся предварительные расчеты (см. табл. 2.2).

Таблица 2.2

Данные для расчета коэффициента корреляции

I	X = T	Y = P	XY	X2	Y2
1	270.5	2670	722200	73170	0.00071281010
2	280.8	5330	1496700	78849	0.00284081010
3	288.6	8000	2308800	83290	0.00640001010
4	299.2	13330	3988300	89521	0.01776881010
5	315.4	26670	8411700	99477	0.07112881010
6	333.8	53330	17801500	111422	0.28440881010
7	353.2	101330	35789700	125174	1.02677681010
	2141.5	2.106105	7.052107	6.609105	1.41001010

Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле (2.1):

r_p,T = = 0.909

Значение коэффициента корреляции достаточно велико, чтобы сделать заключение о наличии тесной линейной связи.

Значимость коэффициента корреляции проверяем по значению произведения H

H = 0.909 = 2.226

Для уровня доверительности 0.95 табличное значение H_табл=1.90, следовательно коэффициент корреляции является значимым и гипотеза о линейной связи P и T может быть принята с уровнем доверительности 0.95.