Требуется определить коэффициент эмпирической формулы

F(Xi,aj) = a + b∙Xi.

(2.17)

Тогда выражение (2.15) примет вид:

R(aj,Xi) = ∑ (a + b∙Xi – yi)2

(2.18)

Нормальная система для определения a и b будет иметь такой вид:

	∂R/∂a = 2∑(a + b∙ Xi – yi) ∙ 1 = 0	(2.19)
	∂R/∂b = 2∑(a + b∙ Xi – yi) ∙ Xi = 0

Сделав простейшие преобразования, получим:

	a.∙n + b∙ ∑ Xi = ∑yi	(2.20)
	a∙ ∑ Xi + b∙∑ Xi 2 = ∑ Xi.yi

Решив систему (2.20), получаем значения a и b. Подставив их в выражение (2.17), получаем вид эмпирической формулы.

Коэффициенты регрессии b и a можно вычислить по формулам:

	b = [nΣXiyi - ΣXiΣyi] / [nΣXi2 – (ΣXi)2]	(2.21)
	a = [Σyi – bΣXi] / n	(2.22)

Во всех этих выражениях коэффициенты регрессии определяются на основании измерений, проведенных в n экспериментальных точках (n > 2).

Для нахождения коэффициентов по МНК можно пользоваться прикладной программой MNK.EXE.

2.3.2. Анализ уравнения регрессии

Дисперсия адекватности модели S_ад² характеризует меру отклонения данных , полученных расчетом по уравнению регрессии (2.17) от реальных экспериментальных результатов y_i для i-й точки, в которой проведено измерение. Значение S_ад² находят по формуле:

Sад2 = ,

(2.23)

при числе степеней свободы f = n – 2.

После вычисления коэффициентов модели a и b вычисляют дисперсии S_a² и S_b²,связанные с определением коэффициентов:

Sb2= ; Sa2= ,

(2.24)

при числе степеней свободы f = n – 2.

После вычисления дисперсий следует проверить статистическую значимость a и b. Эта проверка дает ответ на вопросы о том, проходит ли прямая (2.13) через начало координат или нет, и отличается ли угол ее наклона от 45⁰. Наиболее простым критерием значимости для такой проверки является критерий Стьюдента (t–.критерий). Величина критерия Стьюдента зависит от уровня доверительности Р и числа степеней свободы f , т.е. t = t(Р, f). Часто вместо уровня доверительности пользуются понятием уровень значимости α = 1– Р .

Значения критерия Стьюдента для Р = 0.95 приведены в табл.2.4.

Таблица 2.4

Значения критерия Стьюдента для уровня доверительности Р = 0.95

n-k	1	2	4	6	8	10	15	20	30
t	12.7	4.30	2.80	2.45	2.30	2.23	2.03	2.09	2.04

где n – число опытов, k – число определяемых из них констант

Доверительные границы a и b для этих коэффициентов вычисляются по формулам:

a= tα/2,f ∙sa ; b= tα/2,f ∙sb

(2.25)

Коэффициенты уравнения значимы, если выполняются условия a> a и b> b.

После определения коэффициентов регрессии и оценки их значимости проверяют адекватность самого уравнения регрессии. Отклонение расчетного значения от экспериментального y_i может иметь место либо потому, что избранная модель несовершенна, либо вследствие случайных погрешностей. Поэтому статистическая оценка адекватности производится по F–критерию:

Fэксп=Sад2/Sy2

(2.2)

при числе степеней свободы числителя n–2, а знаменателя n(m –1). Здесь S_y² –дисперсия воспроизводимости при измерении величины y или выборочная дисперсия.

Значения критерия Фишера для уровня доверительности Р = 0.95 приведены в табл.2.5.

Таблица 2.5

Значения критерия Фишера для уровня доверительности Р = 0.95

m–1 (m-k)	F–критерий при разных n-k
	1	2	4	6	8	10	16	40
1	161	200	225	234	239	242	246	251
2	18.50	19.00	19.25	19.33	19.37	19.39	19.43	19.47
3	10.13	9.55	9.12	8.94	8.84	8.78	8.69	8.60
4	7.71	6.94	6.39	6.16	6.04	5.96	5.84	5.71
5	6.61	5.79	5.19	4.95	4.82	4.74	4.60	4.46
6	5.99	5.14	4.53	4.28	4.15	4.06	3.92	3.77
7	5.32	4.46	3.84	3.58	3.44	3.34	3.20	3.06

где m – число параллельных опытов

Выборочная дисперсия S_y² определяется при обработке результатов параллельных измерений y_i в каждой точке по формуле:

.

Eсли значение F_эксп , полученное по формуле (2.26), меньше табличного при избранном уровне значимости, то уравнение (2.3) адекватно описывает экспериментальные результаты. Если F_эксп. F_табл, следует предложить другой вид уравнения и исследовать новое уравнение регрессии.

Пример 2.3. Зависимость давления насыщенного пара бензола от температуры выражается следующими экспериментальными данными (табл. 2.6)

Таблица 2.6

Давление насыщенного пара бензола при разных температурах

T, K	270.5	280.8	288.6	299.2	315.4	333.8	353.2
P10—5, Па	0.0267	0.0533	0.080	0.1333	0.2667	0.5333	1.0133

Для этой зависимости определить коэффициенты уравнений линейной регрессии

Р = b + a  T

(2.27)

и нелинейной регрессии вида

Р = b  exp (a/T)

(2.28)

Произвести анализ адекватности обеих моделей

Для линейной регрессии (Y = a + b  X) определяем коэффициенты нормальных уравнений.

Для этого проводим предварительные вычисления (см. табл. 2.7).

Система нормальных уравнений имеет вид:

7  а + 2.14110 3 b = 2.10610 5 2.14110 3  а + 6.60910 5  b = 7.05210 7

(2.29)

Решив систему (2.29) находим значения коэффициентов

a = – 2.806  10⁵

b = 1016

Линейная регрессия имеет вид:

P = – 2.806  105 + 1016 T,

(2.30)

где Р – давление, Па; Т – температура, К.

Таблица 2.7

Данные для расчета коэффициентов нормальных уравнений

I	X = T	Y = P	XY	X2
1	270.5	2670	722200	73170
2	280.8	5330	1496700	78849
3	288.6	8000	2308800	83290
4	299.2	13330	3988300	89521
5	315.4	26670	8411700	99477
6	333.8	53330	17801500	111422
7	353.2	101330	35789700	125174
	2141.5	2.106105	7.052107	6.609105

Рассчитываем по уравнению (2.30) давление пара в каждой точке (табл. 2.8).

Таблица 2.8

Расчетное давление пара (по уравнению (2.30))

I	X = T	Y = P		Y–	(Y– )2
1	270.5	2670	–5800	8470	71.74106
2	280.8	5330	4700	630	0.040106
3	288.6	8000	12600	–4600	21.16106
4	299.2	13330	23400	–10070	101.40106
5	315.4	26670	39800	–13130	172.40106
6	333.8	53330	58500	–5170	26.73106
7	353.2	101330	78200	–23130	535.00106
					928.43106

Дисперсия адекватности модели (по формуле 2.23)

S_ад = (928.4310⁶)/(7–2) = 185 10⁶

Выборочную дисперсию S_y² определяем по точности измерения давления _y =  2% и, следовательно, по среднему отклонению

_y =  0.02Y ср =  0.02Y_i / 7 =  0.02 210660 / 7 =  602 Па

При минимальном количестве параллельных измерений в каждой точке m = 2 дисперсия воспроизводимости составит:

S_y²= = 0.725∙10⁶

Критерий Фишера по формуле (2.26)

Табличное значение критерия Фишера ( ) находим по числу степеней свободы числителя ( ) и знаменателя ( )

,

где = 7, количество экспериментальных точек ;

= 2, количество найденных коэффициентов модели ;

= 2, количество параллельных измерений в каждой точке, принимаем минимальное значение = 2.

По табл.2.5 F_5,1 = 229.5.

Так как F_экс > F_табл,, то линейная модель неадекватна результатам эксперимента. Это видно и по величинам вычисленных значений , которые значительно отличаются от экспериментальных.

При выполнении курсовой работы возможны варианты адекватности линейной модели.

Рассмотрим теперь уравнение нелинейной регрессии. Заданную нелинейную зависимость (2.28) необходимо предварительно привести к линейному виду. Логарифмируя формулу (2.28), получим:

lg P = lg b + alg e/T

(2.31)

Обозначив Y= lgP; a₀ = lgb; a₁= alge; X= 1/T, получим следующую линейную зависимость:

Y = a0 + a1X

(2.32)

Вычисленные значения Y= lgP; X= 1/T приведены в табл. 2.9.

Таблица 2.9

Определение коэффициентов системы нормальных уравнений

I	X = 1/T	Y = lgP	X2	XY
1	0.003697	-1.5735	1.36710-5	-5.81710-3
2	0.003561	-1.2733	1.26810-5	-4.53410-3
3	0.003465	-1.0969	1.20110-5	-3.80110-3
4	0.003342	-0.8752	1.11710-5	-2.92510-3
5	0.003171	-0.5740	1.00610-5	-1.82010-3
6	0.002952	-0.2730	0.871410-5	-0.80610-3
7	0.002831	0.005738	0.801510-5	0.0162410-3
	0.02302	-5.6602	7.63210-5	-0.01969

Система нормальных уравнений имеет вид:

	7a0 + 0.02303a1= -5.6602	(2.33)
	0.02303a0 + 0.763210-4a1 = -0.01969

Решив систему (2.33), находим значение коэффициентов a₀ = 4.998 и a₁ = -1767.4.

Поскольку, в силу введенных нами обозначений a₀ = lgb, то b = 99471.8; a₁= alge, то a = lgа = –1767.4/0.4343 = -4069.5.

Тогда искомая зависимость примет вид:

p = 99471.8e-4069.5/T

(2.34)

где р – давление насыщенного пара, бар (1 бар = 10⁵Па).

Рассчитываем по уравнению (2.34) давление пара в каждой точке (табл. 2.10).

Адекватность модели проверяем аналогично предыдущему варианту.

Дисперсия адекватности модели (по формуле 2.23)

S_ад = (6.247610^-3)/(7–2) = 1.2495 10^-3

Среднее отклонение при измерении давления (в барах) составит:

∆y =  60210^-5 =  6.0210^-3 бар

Выборочная дисперсия воспроизводимости

S_y² = =7.24810^-5

Критерий Фишера по формуле (2.26)

Таблица 2.10

Расчетное давление пара (по уравнению (2.34))

I	X = T, K	Y = P, бар		Y–	(Y– )2
1	270.5	0.0267	0.0291	–0.0024	0.0057610-3
2	280.8	0.0533	0.0505	0.0028	0.0078410-3
3	288.6	0.0800	0.0748	0.0052	0.027010-3
4	299.2	0.1333	0.1233	0.010	0.10010-3
5	315.4	0.2667	0.2477	0.0190	0.36110-3
6	333.8	0.5333	0.6039	–0.0706	4.98410-3
7	353.2	1.0133	0.9857	0.0276	0.76210-3
					6.247610-3

Табличное значение критерия Фишера ( ) остается такое же F_5,1 = 229.5.

В данном случае F_экс < F_табл,, поэтому исследуемая нелинейная модель может быть принята как адекватная.

При выполнении курсовой работы возможен вариант неадекватности и нелинейной модели.